Страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

839. Какие два числа надо вставить между числами $6$ и $750$, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть искомая геометрическая прогрессия $(b_n)$ состоит из четырех членов: $b_1, b_2, b_3, b_4$.

Согласно условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = 6$, а четвертый член $b_4 = 750$. Нам нужно найти второй и третий члены прогрессии, то есть $b_2$ и $b_3$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Используем эту формулу для четвертого члена прогрессии ($n=4$):
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим известные значения $b_1$ и $b_4$ в формулу, чтобы найти знаменатель $q$:
$750 = 6 \cdot q^3$

Разделим обе части уравнения на 6:
$q^3 = \frac{750}{6}$
$q^3 = 125$

Найдем значение $q$, извлекая кубический корень из 125:
$q = \sqrt[3]{125}$
$q = 5$

Теперь, зная знаменатель прогрессии $q = 5$, мы можем найти недостающие члены $b_2$ и $b_3$.

Второй член прогрессии:
$b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot 5 = 30$

Третий член прогрессии:
$b_3 = b_2 \cdot q = 30 \cdot 5 = 150$

Таким образом, мы получили геометрическую прогрессию: 6, 30, 150, 750.

Ответ: между числами 6 и 750 надо вставить числа 30 и 150.

840. Какие четыре числа надо вставить между числами 0,5 и 16, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Пусть искомая последовательность чисел является геометрической прогрессией ($b_n$). По условию, ее первый член $b_1 = 0,5$. Между числами 0,5 и 16 нужно вставить четыре числа. Это означает, что вместе с данными числами в прогрессии будет $1 + 4 + 1 = 6$ членов. Следовательно, число 16 является шестым членом этой прогрессии, то есть $b_6 = 16$.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Используем эту формулу для нахождения знаменателя $q$, подставив известные нам значения $b_1$ и $b_6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$

$16 = 0,5 \cdot q^5$

Выразим $q^5$:

$q^5 = \frac{16}{0,5} = 32$

Теперь найдем знаменатель $q$, извлекая корень пятой степени из 32:

$q = \sqrt[5]{32} = 2$

Зная первый член $b_1 = 0,5$ и знаменатель $q = 2$, мы можем найти четыре искомых числа. Это будут второй, третий, четвертый и пятый члены прогрессии ($b_2, b_3, b_4, b_5$):

$b_2 = b_1 \cdot q = 0,5 \cdot 2 = 1$

$b_3 = b_2 \cdot q = 1 \cdot 2 = 2$

$b_4 = b_3 \cdot q = 2 \cdot 2 = 4$

$b_5 = b_4 \cdot q = 4 \cdot 2 = 8$

Таким образом, четыре числа, которые нужно вставить между 0,5 и 16, — это 1, 2, 4 и 8. Получившаяся геометрическая прогрессия: 0,5; 1; 2; 4; 8; 16.

Ответ: 1, 2, 4, 8.

841. Последовательность ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = 5 \cdot 4^{n-2}$. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? В случае утвердительного ответа укажите её первый член и знаменатель.

Чтобы определить, является ли последовательность $(b_n)$, заданная формулой $b_n = 5 \cdot 4^{n-2}$, геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение последующего члена к предыдущему, то есть $\frac{b_{n+1}}{b_n}$, постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$. Эта константа и будет являться знаменателем геометрической прогрессии $q$.

Сначала найдем (n+1)-й член последовательности, подставив в заданную формулу $n+1$ вместо $n$:

$b_{n+1} = 5 \cdot 4^{(n+1)-2} = 5 \cdot 4^{n-1}$.

Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{5 \cdot 4^{n-1}}{5 \cdot 4^{n-2}}$.

Сократим множитель 5 в числителе и знаменателе и воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{4^{n-1}}{4^{n-2}} = 4^{(n-1) - (n-2)} = 4^{n-1-n+2} = 4^1 = 4$.

Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно 4, то есть является постоянной величиной, не зависящей от $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией. Знаменатель этой прогрессии $q = 4$.

Далее найдем первый член прогрессии $b_1$. Для этого подставим $n=1$ в исходную формулу:

$b_1 = 5 \cdot 4^{1-2} = 5 \cdot 4^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

Ответ: Да, данная последовательность является геометрической прогрессией. Её первый член $b_1 = \frac{5}{4}$, а знаменатель $q = 4$.

842. Докажите, что последовательность $ (x_n) $, заданная формулой $n$-го члена $ x_n = 7^{n+1} $, является геометрической прогрессией, и укажите её первый член и знаменатель.

По определению, последовательность является геометрической прогрессией, если для всех натуральных $n$ выполняется равенство $x_{n+1} = x_n \cdot q$, где $q$ — некоторое постоянное число, не равное нулю, называемое знаменателем прогрессии. Отсюда следует, что отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ должно быть постоянной величиной, равной $q$.

Проверим это условие для последовательности, заданной формулой $x_n = 7^{n+1}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:

$x_{n+1} = 7^{(n+1)+1} = 7^{n+2}$

Теперь найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{7^{n+2}}{7^{n+1}}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получим:

$\frac{x_{n+1}}{x_n} = 7^{(n+2) - (n+1)} = 7^{n+2-n-1} = 7^1 = 7$

Поскольку отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$ равно постоянному числу $7$ и не зависит от $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией. Знаменатель этой прогрессии $q = 7$.

Для нахождения первого члена прогрессии подставим $n=1$ в исходную формулу:

$x_1 = 7^{1+1} = 7^2 = 49$

Ответ: последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией; ее первый член $x_1 = 49$, а знаменатель $q = 7$.

843. Последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией. Найдите:

1) $b_5$, если $b_4 = 9$, $b_6 = 25$;

2) $b_{20}$, если $b_{19} = -3$, $b_{21} = -12$;

3) $b_{17}$, если $b_{16} = 2$, $b_{18} = 10$.

1) Для геометрической прогрессии $(b_n)$ квадрат любого члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов: $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.
Для нахождения $b_5$, зная $b_4$ и $b_6$, применим это свойство при $n=5$:
$b_5^2 = b_4 \cdot b_6$
Подставим известные значения $b_4 = 9$ и $b_6 = 25$:
$b_5^2 = 9 \cdot 25 = 225$
Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $b_5$:
$b_5 = \pm\sqrt{225} = \pm 15$
Оба решения верны, так как они соответствуют двум возможным знаменателям прогрессии: $q = 5/3$ (для $b_5=15$) и $q = -5/3$ (для $b_5=-15$).
Ответ: $15$ или $-15$.

2) Аналогично первому пункту, для нахождения $b_{20}$ используем его соседние члены $b_{19}$ и $b_{21}$ и то же свойство геометрической прогрессии.
$b_{20}^2 = b_{19} \cdot b_{21}$
Подставим данные значения $b_{19} = -3$ и $b_{21} = -12$:
$b_{20}^2 = (-3) \cdot (-12) = 36$
Извлекаем квадратный корень и получаем два возможных значения для $b_{20}$:
$b_{20} = \pm\sqrt{36} = \pm 6$
Эти два решения соответствуют знаменателям $q=2$ (для $b_{20}=-6$) и $q=-2$ (для $b_{20}=6$).
Ответ: $6$ или $-6$.

3) Для нахождения $b_{17}$ по известным $b_{16}$ и $b_{18}$ снова применим свойство среднего геометрического.
$b_{17}^2 = b_{16} \cdot b_{18}$
Подставим известные значения $b_{16} = 2$ и $b_{18} = 10$:
$b_{17}^2 = 2 \cdot 10 = 20$
Извлекая корень, находим $b_{17}$:
$b_{17} = \pm\sqrt{20}$
Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Таким образом, $b_{17} = \pm 2\sqrt{5}$.
Эти решения соответствуют знаменателям прогрессии $q=\sqrt{5}$ и $q=-\sqrt{5}$.
Ответ: $2\sqrt{5}$ или $-2\sqrt{5}$.

844. При каком значении переменной $x$ числа $x$, $3x$ и $18$ будут последовательными членами геометрической прогрессии?

Пусть данные числа $x$, $3x$ и $18$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Обозначим их как $b_1 = x$, $b_2 = 3x$ и $b_3 = 18$.

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов (предыдущего и последующего). Для наших чисел это свойство можно записать в виде формулы: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в эту формулу данные нам выражения: $(3x)^2 = x \cdot 18$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $x$: $9x^2 = 18x$ Перенесем все члены уравнения в левую часть: $9x^2 - 18x = 0$ Вынесем общий множитель $9x$ за скобки: $9x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$: 1) $9x = 0$, что дает $x = 0$ 2) $x - 2 = 0$, что дает $x = 2$

Теперь необходимо проверить оба найденных значения.

• Если $x = 0$, то последовательность чисел будет: $0, 3 \cdot 0, 18$, то есть $0, 0, 18$. По определению, в геометрической прогрессии с ненулевым знаменателем первый член не может быть равен нулю, если остальные члены не равны нулю. Если же первый член равен нулю, то и все остальные члены должны быть равны нулю. Так как третий член равен 18, эта последовательность не является геометрической прогрессией. Знаменатель $q = 0/0$ не определен.
• Если $x = 2$, то последовательность чисел будет: $2, 3 \cdot 2, 18$, то есть $2, 6, 18$. Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Для этого найдем отношение между последовательными членами (знаменатель прогрессии $q$):
  $q = \frac{6}{2} = 3$
  $q = \frac{18}{6} = 3$
  Так как отношение постоянно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяет только значение $x=2$.

Ответ: 2

845. При каком значении переменной $y$ числа $-1$, $2y$ и $-8$ будут последовательными членами геометрической прогрессии?

Для того чтобы три числа были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы квадрат среднего члена был равен произведению двух крайних. Это является характеристическим свойством геометрической прогрессии.

Пусть даны три последовательных члена геометрической прогрессии: $b_1 = -1$, $b_2 = 2y$ и $b_3 = -8$.

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, должно выполняться равенство:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим данные значения в эту формулу:

$(2y)^2 = (-1) \cdot (-8)$

Решим полученное уравнение:

$4y^2 = 8$

Разделим обе части уравнения на 4:

$y^2 = \frac{8}{4}$

$y^2 = 2$

Из этого уравнения находим возможные значения для $y$:

$y_1 = \sqrt{2}$

$y_2 = -\sqrt{2}$

Проверим оба значения:

1. Если $y = \sqrt{2}$, то последовательность чисел будет: $-1$, $2\sqrt{2}$, $-8$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{2\sqrt{2}}{-1} = -2\sqrt{2}$
$q = \frac{-8}{2\sqrt{2}} = \frac{-4}{\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$
Знаменатель одинаковый, следовательно, $y = \sqrt{2}$ является решением.

2. Если $y = -\sqrt{2}$, то последовательность чисел будет: $-1$, $2(-\sqrt{2})$, $-8$, то есть $-1$, $-2\sqrt{2}$, $-8$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{-2\sqrt{2}}{-1} = 2\sqrt{2}$
$q = \frac{-8}{-2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
Знаменатель одинаковый, следовательно, $y = -\sqrt{2}$ также является решением.

Таким образом, существуют два значения переменной $y$, при которых данные числа образуют геометрическую прогрессию.

Ответ: $y = \sqrt{2}$ или $y = -\sqrt{2}$.

846. Второй член геометрической прогрессии равен 6. Найдите произведение трёх первых членов этой прогрессии.

Пусть данная геометрическая прогрессия обозначается как $b_n$, где $n$ - номер члена прогрессии. По условию, второй член прогрессии равен 6, то есть $b_2 = 6$.

Нам нужно найти произведение первых трёх членов этой прогрессии, которое мы обозначим как $P_3$: $P_3 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3$

Члены геометрической прогрессии связаны друг с другом через знаменатель прогрессии $q$. Выразим первый и третий члены через второй член $b_2$:
Первый член: $b_1 = \frac{b_2}{q}$
Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q$

Теперь подставим эти выражения в формулу для произведения $P_3$: $P_3 = \left(\frac{b_2}{q}\right) \cdot b_2 \cdot (b_2 \cdot q)$

В этом выражении знаменатель $q$ в числителе и знаменателе сокращается: $P_3 = b_2 \cdot b_2 \cdot b_2 = b_2^3$

Таким образом, произведение первых трёх членов геометрической прогрессии равно кубу её второго члена.

Подставим известное значение $b_2 = 6$: $P_3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

Ответ: 216.

847. Третий член геометрической прогрессии равен 3. Найдите произведение пяти первых членов этой прогрессии.

Пусть $\{b_n\}$ — данная геометрическая прогрессия, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

По условию задачи, третий член прогрессии равен 3, то есть $b_3 = 3$.

Нам необходимо найти произведение первых пяти членов этой прогрессии. Обозначим это произведение как $P_5$:
$P_5 = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4 \cdot b_5$

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Использование формулы n-го члена

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Выразим каждый из первых пяти членов через $b_1$ и $q$:
$b_1 = b_1$
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_3 = b_1 \cdot q^2$
$b_4 = b_1 \cdot q^3$
$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $P_5$:
$P_5 = b_1 \cdot (b_1 q) \cdot (b_1 q^2) \cdot (b_1 q^3) \cdot (b_1 q^4)$

Сгруппируем множители $b_1$ и степени $q$:
$P_5 = (b_1 \cdot b_1 \cdot b_1 \cdot b_1 \cdot b_1) \cdot (q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot q^3 \cdot q^4) = b_1^5 \cdot q^{0+1+2+3+4} = b_1^5 \cdot q^{10}$

Преобразуем полученное выражение, используя свойства степеней:
$P_5 = b_1^5 \cdot (q^2)^5 = (b_1 q^2)^5$

Мы знаем, что $b_3 = b_1 q^2$ и по условию $b_3=3$. Подставив это значение, получаем:
$P_5 = (b_3)^5 = 3^5 = 243$.

Способ 2: Использование свойства среднего члена

Для конечного набора членов геометрической прогрессии существует свойство: произведение членов, равноудаленных от середины, равно квадрату среднего члена (если количество членов нечетное). В нашем случае средним членом из первых пяти является $b_3$.

Перегруппируем множители в произведении $P_5$:
$P_5 = (b_1 \cdot b_5) \cdot (b_2 \cdot b_4) \cdot b_3$

Согласно свойству, $b_1 \cdot b_5 = b_3^2$ и $b_2 \cdot b_4 = b_3^2$.
Докажем это:
$b_1 \cdot b_5 = b_1 \cdot (b_1 q^4) = b_1^2 q^4 = (b_1 q^2)^2 = b_3^2$
$b_2 \cdot b_4 = (b_1 q) \cdot (b_1 q^3) = b_1^2 q^4 = (b_1 q^2)^2 = b_3^2$

Подставим эти выражения обратно в формулу для $P_5$:
$P_5 = (b_3^2) \cdot (b_3^2) \cdot b_3 = b_3^{2+2+1} = b_3^5$

Так как по условию $b_3 = 3$, получаем:
$P_5 = 3^5 = 243$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 243

848. Докажите, что в конечной геометрической прогрессии произведение членов, равноудалённых от её концов, равно произведению крайних членов.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $(b_n)$, состоящая из $m$ членов: $b_1, b_2, \dots, b_m$. Первый член прогрессии — $b_1$, а знаменатель прогрессии — $q$.

Формула для нахождения $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Крайними членами данной прогрессии являются первый член $b_1$ и последний член $b_m$. Их произведение равно: $b_1 \cdot b_m = b_1 \cdot (b_1 \cdot q^{m-1}) = b_1^2 \cdot q^{m-1}$.

Теперь рассмотрим члены, равноудалённые от её концов. Пусть это будет $k$-й член с начала и $k$-й член с конца прогрессии, где $k$ — натуральное число, и $1 \le k \le m$.

$k$-й член с начала — это $b_k$.

$k$-й член с конца имеет порядковый номер $m - k + 1$. Следовательно, это член $b_{m-k+1}$.

Используя формулу $n$-го члена, запишем выражения для этих членов: $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$ $b_{m-k+1} = b_1 \cdot q^{(m-k+1)-1} = b_1 \cdot q^{m-k}$

Найдем произведение этих двух членов: $b_k \cdot b_{m-k+1} = (b_1 \cdot q^{k-1}) \cdot (b_1 \cdot q^{m-k}) = b_1^2 \cdot q^{k-1 + m-k} = b_1^2 \cdot q^{m-1}$.

Сравнивая произведение членов, равноудалённых от концов ($b_k \cdot b_{m-k+1}$), с произведением крайних членов ($b_1 \cdot b_m$), мы видим, что они равны: $b_k \cdot b_{m-k+1} = b_1^2 \cdot q^{m-1}$ $b_1 \cdot b_m = b_1^2 \cdot q^{m-1}$

Таким образом, $b_k \cdot b_{m-k+1} = b_1 \cdot b_m$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

849. В правильный треугольник со стороной $a$ последовательно вписаны треугольники так, что вершины каждого следующего треугольника являются серединами сторон предыдущего (рис. 106). Докажите, что периметры этих треугольников образуют геометрическую прогрессию, и запишите формулу $n$-го члена этой прогрессии.

849.

Пусть дан исходный правильный треугольник $T_1$ со стороной $a$. Его периметр равен $P_1 = 3a$.

Второй треугольник, $T_2$, вписан в $T_1$ так, что его вершины являются серединами сторон треугольника $T_1$. Каждая сторона треугольника $T_2$ является средней линией для треугольника $T_1$. По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна.

Так как исходный треугольник $T_1$ правильный (все стороны равны $a$), то все его средние линии равны между собой и их длина составляет $a/2$. Следовательно, второй треугольник $T_2$ также является правильным со стороной $a_2 = a/2$. Его периметр равен $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot (a/2) = \frac{3a}{2}$.

Аналогично, для третьего треугольника $T_3$, вписанного в $T_2$, его сторона $a_3$ будет равна половине стороны $a_2$, то есть $a_3 = a_2/2 = (a/2)/2 = a/4$. Его периметр $P_3 = 3 \cdot a_3 = \frac{3a}{4}$.

Таким образом, мы имеем последовательность периметров $P_1, P_2, P_3, \dots$, где $P_n$ — периметр $n$-го треугольника. Отношение периметра любого последующего треугольника к предыдущему равно: $ \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{3a_{n+1}}{3a_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a_n/2}{a_n} = \frac{1}{2} $

Поскольку отношение любого члена последовательности периметров к предыдущему является постоянной величиной, равной $1/2$, данная последовательность по определению является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/2$.

Для нахождения формулы $n$-го члена этой прогрессии воспользуемся общей формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае первый член прогрессии $b_1 = P_1 = 3a$, а знаменатель $q = 1/2$.

Следовательно, формула для периметра $n$-го треугольника имеет вид: $ P_n = 3a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $

Ответ: Последовательность периметров является геометрической прогрессией, так как отношение каждого следующего периметра к предыдущему постоянно и равно $1/2$. Формула $n$-го члена этой прогрессии: $P_n = 3a \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

850.

Для того чтобы последовательность $b_1, b_2, b_3, \dots$ была геометрической прогрессией, необходимо, чтобы отношение каждого последующего члена к предыдущему было постоянной величиной (знаменателем прогрессии $q$), то есть $\frac{b_{k+1}}{b_k} = q$ для любого $k \ge 1$.

1) $2^{-n}, 2^{-2n}, 2^{-3n}, 2^{-4n}, \dots$

Здесь $n$ является параметром. Обозначим члены последовательности: $b_1 = 2^{-n}$, $b_2 = 2^{-2n}$, $b_3 = 2^{-3n}$. Найдем отношение последовательных членов: $ \frac{b_2}{b_1} = \frac{2^{-2n}}{2^{-n}} = 2^{-2n - (-n)} = 2^{-n} $ $ \frac{b_3}{b_2} = \frac{2^{-3n}}{2^{-2n}} = 2^{-3n - (-2n)} = 2^{-n} $ Отношение постоянно и равно $2^{-n}$.

Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии $q = 2^{-n}$.

2) $2^n, 2^{n^2}, 2^{n^3}, 2^{n^4}, \dots$

Обозначим члены последовательности: $b_1 = 2^n$, $b_2 = 2^{n^2}$, $b_3 = 2^{n^3}$. Найдем отношение последовательных членов: $ q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2^{n^2}}{2^n} = 2^{n^2 - n} $ $ q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2^{n^3}}{2^{n^2}} = 2^{n^3 - n^2} $ Чтобы последовательность была геометрической, должно выполняться условие $q_1 = q_2$. $ 2^{n^2 - n} = 2^{n^3 - n^2} \implies n^2 - n = n^3 - n^2 $ $ n^3 - 2n^2 + n = 0 \implies n(n^2 - 2n + 1) = 0 \implies n(n-1)^2 = 0 $ Это равенство верно только при $n=0$ и $n=1$. Для всех других значений $n$ отношение не является постоянным.

Ответ: Нет, не является (за исключением частных случаев, когда $n=0$ или $n=1$).

3) $2^n, 2^{n+1}, 2^{n+2}, 2^{n+3}, \dots$

Обозначим члены последовательности: $b_1 = 2^n$, $b_2 = 2^{n+1}$, $b_3 = 2^{n+2}$. Найдем отношение последовательных членов: $ \frac{b_2}{b_1} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{(n+1) - n} = 2^1 = 2 $ $ \frac{b_3}{b_2} = \frac{2^{n+2}}{2^{n+1}} = 2^{(n+2) - (n+1)} = 2^1 = 2 $ Отношение постоянно и равно 2.

Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии $q=2$.

850. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) $2^{-n}$, $2^{-2n}$, $2^{-3n}$, $2^{-4n}$.

2) $2n$, $2n^2$, $2n^3$, $2n^4$;

3) $2n$, $2n + 1$, $2n + 2$, $2n + 3?$

В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

1) Чтобы определить, является ли последовательность $2^{-n}, 2^{-2n}, 2^{-3n}, 2^{-4n}, \dots$ геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянной величиной (знаменателем прогрессии $q$).
Обозначим члены последовательности как $b_1 = 2^{-n}$, $b_2 = 2^{-2n}$, $b_3 = 2^{-3n}$ и так далее. Общий член последовательности можно записать как $b_k = 2^{-kn}$.
Найдем отношение второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2^{-2n}}{2^{-n}} = 2^{-2n - (-n)} = 2^{-2n+n} = 2^{-n}$.
Найдем отношение третьего члена ко второму:
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2^{-3n}}{2^{-2n}} = 2^{-3n - (-2n)} = 2^{-3n+2n} = 2^{-n}$.
Так как отношение соседних членов последовательности постоянно и равно $2^{-n}$, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии $q = 2^{-n}$.

2) Рассмотрим последовательность $2n, 2n^2, 2n^3, 2n^4, \dots$.
Обозначим члены последовательности как $c_1 = 2n, c_2 = 2n^2, c_3 = 2n^3$ и так далее. Общий член: $c_k = 2n^k$.
Проверим отношение соседних членов. Для $n \neq 0$:
$\frac{c_2}{c_1} = \frac{2n^2}{2n} = n$.
$\frac{c_3}{c_2} = \frac{2n^3}{2n^2} = n$.
Отношение постоянно и равно $n$.
В случае, если $n=0$, последовательность принимает вид $0, 0, 0, \dots$. Это также является геометрической прогрессией (с первым членом $0$ и знаменателем $q=0$, что соответствует найденной формуле $q=n$).
Таким образом, последовательность является геометрической прогрессией при любом значении $n$.
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии $q = n$.

3) Рассмотрим последовательность $2n, 2n+1, 2n+2, 2n+3, \dots$.
Обозначим члены последовательности как $d_1 = 2n$, $d_2 = 2n+1$, $d_3 = 2n+2$.
Найдем отношение второго члена к первому (предполагая $n \neq 0$):
$\frac{d_2}{d_1} = \frac{2n+1}{2n}$.
Найдем отношение третьего члена ко второму (предполагая $2n+1 \neq 0$):
$\frac{d_3}{d_2} = \frac{2n+2}{2n+1}$.
Чтобы последовательность была геометрической, эти отношения должны быть равны:
$\frac{2n+1}{2n} = \frac{2n+2}{2n+1}$
Перемножив крест-накрест, получим:
$(2n+1)(2n+1) = 2n(2n+2)$
$4n^2 + 4n + 1 = 4n^2 + 4n$
$1 = 0$
Полученное равенство неверно. Это означает, что отношение соседних членов не является постоянной величиной ни при каком значении $n$ (для которого члены определены и не равны нулю). Следовательно, последовательность не является геометрической прогрессией. (Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью 1).
Ответ: Нет, не является.