Номер 841, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

841. Последовательность ($b_n$) задана формулой $n$-го члена $b_n = 5 \cdot 4^{n-2}$. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? В случае утвердительного ответа укажите её первый член и знаменатель.

Чтобы определить, является ли последовательность $(b_n)$, заданная формулой $b_n = 5 \cdot 4^{n-2}$, геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение последующего члена к предыдущему, то есть $\frac{b_{n+1}}{b_n}$, постоянной величиной (константой), не зависящей от $n$. Эта константа и будет являться знаменателем геометрической прогрессии $q$.

Сначала найдем (n+1)-й член последовательности, подставив в заданную формулу $n+1$ вместо $n$:

$b_{n+1} = 5 \cdot 4^{(n+1)-2} = 5 \cdot 4^{n-1}$.

Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{5 \cdot 4^{n-1}}{5 \cdot 4^{n-2}}$.

Сократим множитель 5 в числителе и знаменателе и воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{4^{n-1}}{4^{n-2}} = 4^{(n-1) - (n-2)} = 4^{n-1-n+2} = 4^1 = 4$.

Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно 4, то есть является постоянной величиной, не зависящей от $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией. Знаменатель этой прогрессии $q = 4$.

Далее найдем первый член прогрессии $b_1$. Для этого подставим $n=1$ в исходную формулу:

$b_1 = 5 \cdot 4^{1-2} = 5 \cdot 4^{-1} = 5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

Ответ: Да, данная последовательность является геометрической прогрессией. Её первый член $b_1 = \frac{5}{4}$, а знаменатель $q = 4$.