Номер 844, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

844. При каком значении переменной $x$ числа $x$, $3x$ и $18$ будут последовательными членами геометрической прогрессии?

Пусть данные числа $x$, $3x$ и $18$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Обозначим их как $b_1 = x$, $b_2 = 3x$ и $b_3 = 18$.

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов (предыдущего и последующего). Для наших чисел это свойство можно записать в виде формулы: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в эту формулу данные нам выражения: $(3x)^2 = x \cdot 18$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $x$: $9x^2 = 18x$ Перенесем все члены уравнения в левую часть: $9x^2 - 18x = 0$ Вынесем общий множитель $9x$ за скобки: $9x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$: 1) $9x = 0$, что дает $x = 0$ 2) $x - 2 = 0$, что дает $x = 2$

Теперь необходимо проверить оба найденных значения.

• Если $x = 0$, то последовательность чисел будет: $0, 3 \cdot 0, 18$, то есть $0, 0, 18$. По определению, в геометрической прогрессии с ненулевым знаменателем первый член не может быть равен нулю, если остальные члены не равны нулю. Если же первый член равен нулю, то и все остальные члены должны быть равны нулю. Так как третий член равен 18, эта последовательность не является геометрической прогрессией. Знаменатель $q = 0/0$ не определен.
• Если $x = 2$, то последовательность чисел будет: $2, 3 \cdot 2, 18$, то есть $2, 6, 18$. Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Для этого найдем отношение между последовательными членами (знаменатель прогрессии $q$):
  $q = \frac{6}{2} = 3$
  $q = \frac{18}{6} = 3$
  Так как отношение постоянно, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяет только значение $x=2$.

Ответ: 2