Номер 849, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

849. В правильный треугольник со стороной $a$ последовательно вписаны треугольники так, что вершины каждого следующего треугольника являются серединами сторон предыдущего (рис. 106). Докажите, что периметры этих треугольников образуют геометрическую прогрессию, и запишите формулу $n$-го члена этой прогрессии.

849.

Пусть дан исходный правильный треугольник $T_1$ со стороной $a$. Его периметр равен $P_1 = 3a$.

Второй треугольник, $T_2$, вписан в $T_1$ так, что его вершины являются серединами сторон треугольника $T_1$. Каждая сторона треугольника $T_2$ является средней линией для треугольника $T_1$. По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины стороны, которой она параллельна.

Так как исходный треугольник $T_1$ правильный (все стороны равны $a$), то все его средние линии равны между собой и их длина составляет $a/2$. Следовательно, второй треугольник $T_2$ также является правильным со стороной $a_2 = a/2$. Его периметр равен $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot (a/2) = \frac{3a}{2}$.

Аналогично, для третьего треугольника $T_3$, вписанного в $T_2$, его сторона $a_3$ будет равна половине стороны $a_2$, то есть $a_3 = a_2/2 = (a/2)/2 = a/4$. Его периметр $P_3 = 3 \cdot a_3 = \frac{3a}{4}$.

Таким образом, мы имеем последовательность периметров $P_1, P_2, P_3, \dots$, где $P_n$ — периметр $n$-го треугольника. Отношение периметра любого последующего треугольника к предыдущему равно: $ \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{3a_{n+1}}{3a_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a_n/2}{a_n} = \frac{1}{2} $

Поскольку отношение любого члена последовательности периметров к предыдущему является постоянной величиной, равной $1/2$, данная последовательность по определению является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/2$.

Для нахождения формулы $n$-го члена этой прогрессии воспользуемся общей формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае первый член прогрессии $b_1 = P_1 = 3a$, а знаменатель $q = 1/2$.

Следовательно, формула для периметра $n$-го треугольника имеет вид: $ P_n = 3a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $

Ответ: Последовательность периметров является геометрической прогрессией, так как отношение каждого следующего периметра к предыдущему постоянно и равно $1/2$. Формула $n$-го члена этой прогрессии: $P_n = 3a \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

850.

Для того чтобы последовательность $b_1, b_2, b_3, \dots$ была геометрической прогрессией, необходимо, чтобы отношение каждого последующего члена к предыдущему было постоянной величиной (знаменателем прогрессии $q$), то есть $\frac{b_{k+1}}{b_k} = q$ для любого $k \ge 1$.

1) $2^{-n}, 2^{-2n}, 2^{-3n}, 2^{-4n}, \dots$

Здесь $n$ является параметром. Обозначим члены последовательности: $b_1 = 2^{-n}$, $b_2 = 2^{-2n}$, $b_3 = 2^{-3n}$. Найдем отношение последовательных членов: $ \frac{b_2}{b_1} = \frac{2^{-2n}}{2^{-n}} = 2^{-2n - (-n)} = 2^{-n} $ $ \frac{b_3}{b_2} = \frac{2^{-3n}}{2^{-2n}} = 2^{-3n - (-2n)} = 2^{-n} $ Отношение постоянно и равно $2^{-n}$.

Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии $q = 2^{-n}$.

2) $2^n, 2^{n^2}, 2^{n^3}, 2^{n^4}, \dots$

Обозначим члены последовательности: $b_1 = 2^n$, $b_2 = 2^{n^2}$, $b_3 = 2^{n^3}$. Найдем отношение последовательных членов: $ q_1 = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2^{n^2}}{2^n} = 2^{n^2 - n} $ $ q_2 = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2^{n^3}}{2^{n^2}} = 2^{n^3 - n^2} $ Чтобы последовательность была геометрической, должно выполняться условие $q_1 = q_2$. $ 2^{n^2 - n} = 2^{n^3 - n^2} \implies n^2 - n = n^3 - n^2 $ $ n^3 - 2n^2 + n = 0 \implies n(n^2 - 2n + 1) = 0 \implies n(n-1)^2 = 0 $ Это равенство верно только при $n=0$ и $n=1$. Для всех других значений $n$ отношение не является постоянным.

Ответ: Нет, не является (за исключением частных случаев, когда $n=0$ или $n=1$).

3) $2^n, 2^{n+1}, 2^{n+2}, 2^{n+3}, \dots$

Обозначим члены последовательности: $b_1 = 2^n$, $b_2 = 2^{n+1}$, $b_3 = 2^{n+2}$. Найдем отношение последовательных членов: $ \frac{b_2}{b_1} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{(n+1) - n} = 2^1 = 2 $ $ \frac{b_3}{b_2} = \frac{2^{n+2}}{2^{n+1}} = 2^{(n+2) - (n+1)} = 2^1 = 2 $ Отношение постоянно и равно 2.

Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии $q=2$.