Номер 853, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

853. Между числами 80 и 5 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Пусть искомая последовательность чисел является геометрической прогрессией $(b_n)$. По условию, нам нужно вставить три числа между 80 и 5. Это означает, что всего в прогрессии будет $2+3=5$ членов.Первый член прогрессии $b_1 = 80$, а пятый член $b_5 = 5$.Искомые числа — это $b_2$, $b_3$ и $b_4$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Воспользуемся этой формулой для пятого члена прогрессии, чтобы найти знаменатель $q$.$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$$b_5 = b_1 \cdot q^4$

Подставим известные значения $b_1 = 80$ и $b_5 = 5$ в формулу:$5 = 80 \cdot q^4$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:$q^4 = \frac{5}{80}$Сократим дробь:$q^4 = \frac{1}{16}$

Извлекая корень четвертой степени, получаем два возможных действительных значения для $q$:$q = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$и$q = -\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{2}$

Рассмотрим оба варианта.

Случай 1: $q = \frac{1}{2}$

Находим три искомых члена прогрессии:$b_2 = b_1 \cdot q = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40$$b_3 = b_2 \cdot q = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$$b_4 = b_3 \cdot q = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$Таким образом, первая последовательность искомых чисел: 40, 20, 10.Прогрессия: 80, 40, 20, 10, 5.

Случай 2: $q = -\frac{1}{2}$

Находим три искомых члена прогрессии:$b_2 = b_1 \cdot q = 80 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -40$$b_3 = b_2 \cdot q = -40 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 20$$b_4 = b_3 \cdot q = 20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -10$Таким образом, вторая последовательность искомых чисел: -40, 20, -10.Прогрессия: 80, -40, 20, -10, 5.

Ответ: искомые числа 40, 20, 10 или -40, 20, -10.