Номер 855, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

855. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_5 = 3b_3$ и $b_6 - b_2 = 48;$

2) $b_4 + b_7 = \frac{56}{9}$ и $b_5 - b_6 + b_7 = \frac{14}{9};$

3) $b_5 - b_4 = 168$ и $b_3 + b_4 = -28.$

1)

Дана геометрическая прогрессия $ (b_n) $, для которой известны следующие условия:

$ b_5 = 3b_3 $

$ b_6 - b_2 = 48 $

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $ b_n = b_1 q^{n-1} $, где $ b_1 $ — первый член, а $ q $ — знаменатель прогрессии.

Выразим члены прогрессии из уравнений через $ b_1 $ и $ q $:

$ b_5 = b_1 q^4 $

$ b_3 = b_1 q^2 $

$ b_6 = b_1 q^5 $

$ b_2 = b_1 q $

Подставим эти выражения в заданные уравнения и получим систему:

$ \begin{cases} b_1 q^4 = 3(b_1 q^2) \\ b_1 q^5 - b_1 q = 48 \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение. Так как $ b_6 - b_2 = 48 \neq 0 $, то $ b_1 \neq 0 $. Также, если бы $ q=0 $, то $ b_2=b_6=0 $, что привело бы к неверному равенству $ 0=48 $. Следовательно, $ q \neq 0 $. Мы можем разделить обе части первого уравнения на $ b_1 q^2 $:

$ q^2 = 3 $

Отсюда получаем два возможных значения для $ q $: $ q = \sqrt{3} $ и $ q = -\sqrt{3} $.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$ b_1 q (q^4 - 1) = 48 $

Поскольку $ q^2 = 3 $, то $ q^4 = (q^2)^2 = 3^2 = 9 $. Подставим это значение:

$ b_1 q (9 - 1) = 48 $

$ 8 b_1 q = 48 $

$ b_1 q = 6 $

Теперь найдем $ b_1 $ для каждого значения $ q $:

Случай 1: $ q = \sqrt{3} $

$ b_1 \cdot \sqrt{3} = 6 \implies b_1 = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $

Случай 2: $ q = -\sqrt{3} $

$ b_1 \cdot (-\sqrt{3}) = 6 \implies b_1 = -\frac{6}{\sqrt{3}} = -2\sqrt{3} $

Таким образом, существуют два набора решений.

Ответ: $ b_1 = 2\sqrt{3}, q = \sqrt{3} $ или $ b_1 = -2\sqrt{3}, q = -\sqrt{3} $.

2)

Даны условия:

$ b_4 + b_7 = \frac{56}{9} $

$ b_5 - b_6 + b_7 = \frac{14}{9} $

Выразим члены прогрессии через $ b_1 $ и $ q $:

$ b_4 = b_1 q^3 $, $ b_7 = b_1 q^6 $, $ b_5 = b_1 q^4 $, $ b_6 = b_1 q^5 $.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 q^3 + b_1 q^6 = \frac{56}{9} \\ b_1 q^4 - b_1 q^5 + b_1 q^6 = \frac{14}{9} \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \begin{cases} b_1 q^3 (1 + q^3) = \frac{56}{9} \\ b_1 q^4 (1 - q + q^2) = \frac{14}{9} \end{cases} $

Заметим, что $ 1 + q^3 = (1+q)(1-q+q^2) $. Перепишем первое уравнение:

$ b_1 q^3 (1+q)(1-q+q^2) = \frac{56}{9} $

Теперь разделим первое преобразованное уравнение на второе (правые части не равны нулю, поэтому деление возможно):

$ \frac{b_1 q^3 (1+q)(1-q+q^2)}{b_1 q^4 (1 - q + q^2)} = \frac{56/9}{14/9} $

Сокращаем $ b_1 $, $ q^3 $ и $ (1-q+q^2) $ (так как $ b_1 q^4 (1 - q + q^2) = \frac{14}{9} \neq 0 $, то и множители не равны нулю):

$ \frac{1+q}{q} = \frac{56}{14} $

$ \frac{1+q}{q} = 4 $

$ 1+q = 4q \implies 3q = 1 \implies q = \frac{1}{3} $

Подставим найденное значение $ q $ во второе исходное уравнение $ b_1 q^4 (1 - q + q^2) = \frac{14}{9} $:

$ b_1 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(1 - \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2\right) = \frac{14}{9} $

$ b_1 \cdot \frac{1}{81} \cdot \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right) = \frac{14}{9} $

$ b_1 \cdot \frac{1}{81} \cdot \left(\frac{9-3+1}{9}\right) = \frac{14}{9} $

$ b_1 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{7}{9} = \frac{14}{9} $

$ b_1 \cdot \frac{7}{729} = \frac{14}{9} $

$ b_1 = \frac{14}{9} \cdot \frac{729}{7} = \frac{14}{7} \cdot \frac{729}{9} = 2 \cdot 81 = 162 $

Ответ: $ b_1 = 162, q = \frac{1}{3} $.

3)

Даны условия:

$ b_5 - b_4 = 168 $

$ b_3 + b_4 = -28 $

Выразим члены прогрессии через $ b_1 $ и $ q $:

$ b_5 = b_1 q^4 $, $ b_4 = b_1 q^3 $, $ b_3 = b_1 q^2 $.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1 q^4 - b_1 q^3 = 168 \\ b_1 q^2 + b_1 q^3 = -28 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки:

$ \begin{cases} b_1 q^3 (q - 1) = 168 \\ b_1 q^2 (1 + q) = -28 \end{cases} $

Разделим первое уравнение на второе (правые части не равны нулю, деление возможно):

$ \frac{b_1 q^3 (q - 1)}{b_1 q^2 (1 + q)} = \frac{168}{-28} $

Сокращаем $ b_1 $ и $ q^2 $ (предполагая $ q \neq 0 $, что верно, иначе $ 168=0 $ и $ -28=0 $):

$ \frac{q(q-1)}{1+q} = -6 $

$ q^2 - q = -6(1+q) $

$ q^2 - q = -6 - 6q $

$ q^2 + 5q + 6 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна -5, произведение равно 6. Корни:

$ q_1 = -2 $, $ q_2 = -3 $.

Теперь найдем $ b_1 $ для каждого значения $ q $, используя второе уравнение $ b_1 q^2 (1 + q) = -28 $.

Случай 1: $ q = -2 $

$ b_1 (-2)^2 (1 - 2) = -28 $

$ b_1 \cdot 4 \cdot (-1) = -28 $

$ -4b_1 = -28 \implies b_1 = 7 $

Случай 2: $ q = -3 $

$ b_1 (-3)^2 (1 - 3) = -28 $

$ b_1 \cdot 9 \cdot (-2) = -28 $

$ -18b_1 = -28 \implies b_1 = \frac{-28}{-18} = \frac{14}{9} $

Таким образом, существуют два набора решений.

Ответ: $ b_1 = 7, q = -2 $ или $ b_1 = \frac{14}{9}, q = -3 $.