Номер 852, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

852. Последовательность $ (b_n) $ является геометрической прогрессией со знаменателем $ q $. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) $ b_2, b_4, ..., b_{2n}; $

2) $ b_1b_3, b_2b_4, b_3b_5, ..., b_{n-2}b_n? $

В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

По условию, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$. Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Также справедлива формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Чтобы определить, является ли новая последовательность геометрической прогрессией, нужно найти отношение её последующего члена к предыдущему. Если это отношение является постоянной величиной (не зависит от номера члена), то последовательность является геометрической прогрессией, а эта величина и есть её знаменатель.

1) $b_2, b_4, \ldots, b_{2n}, \ldots$

Обозначим новую последовательность как $(c_n)$, где её $n$-й член $c_n = b_{2n}$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му члену последовательности $(c_n)$: $$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{2(n+1)}}{b_{2n}} = \frac{b_{2n+2}}{b_{2n}} $$ Используя свойство исходной геометрической прогрессии, выразим $b_{2n+2}$ через $b_{2n}$: $$ b_{2n+2} = b_{2n+1} \cdot q = (b_{2n} \cdot q) \cdot q = b_{2n} \cdot q^2 $$ Подставим это выражение в наше отношение: $$ \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{2n} \cdot q^2}{b_{2n}} = q^2 $$ Так как отношение последующего члена к предыдущему постоянно и равно $q^2$, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q^2$.

2) $b_1b_3, b_2b_4, b_3b_5, \ldots, b_{n-2}b_n$?

Обозначим новую последовательность как $(d_n)$. Судя по первым членам, $n$-й член этой последовательности имеет вид $d_n = b_n \cdot b_{n+2}$. Найдём отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му члену последовательности $(d_n)$: $$ \frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{b_{n+1} \cdot b_{(n+1)+2}}{b_n \cdot b_{n+2}} = \frac{b_{n+1} \cdot b_{n+3}}{b_n \cdot b_{n+2}} $$ Используя свойство исходной геометрической прогрессии $b_{k+1} = b_k \cdot q$, выразим $b_{n+1}$ через $b_n$ и $b_{n+3}$ через $b_{n+2}$: $$ b_{n+1} = b_n \cdot q $$ $$ b_{n+3} = b_{n+2} \cdot q $$ Подставим эти выражения в наше отношение: $$ \frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{(b_n \cdot q) \cdot (b_{n+2} \cdot q)}{b_n \cdot b_{n+2}} = \frac{b_n \cdot b_{n+2} \cdot q^2}{b_n \cdot b_{n+2}} = q^2 $$ Так как отношение последующего члена к предыдущему постоянно и равно $q^2$, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии равен $q^2$.