Номер 856, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

856. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_4 - b_2 = 30$ и $b_4 - b_3 = 24$;

2) $b_2 - b_5 = 78$ и $b_3 + b_4 + b_5 = -117$.

1) Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$. Из условий задачи имеем систему уравнений:

$\begin{cases} b_4 - b_2 = 30 \\ b_4 - b_3 = 24 \end{cases}$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, перепишем систему, вынеся общие множители за скобки:

$\begin{cases} b_1 q^3 - b_1 q = 30 \\ b_1 q^3 - b_1 q^2 = 24 \end{cases} \implies \begin{cases} b_1 q (q^2 - 1) = 30 \\ b_1 q^2 (q - 1) = 24 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе (при условии, что $b_1 \neq 0, q \neq 0, q \neq 1$). Применим формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$ и сократим дроби:

$\frac{b_1 q (q - 1)(q + 1)}{b_1 q^2 (q - 1)} = \frac{30}{24} \implies \frac{q + 1}{q} = \frac{5}{4}$

Решим полученное уравнение для нахождения $q$:

$4(q + 1) = 5q \implies 4q + 4 = 5q \implies q = 4$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q = 4$ во второе уравнение системы $b_1 q^2 (q - 1) = 24$:

$b_1 \cdot 4^2 (4 - 1) = 24 \implies b_1 \cdot 16 \cdot 3 = 24 \implies 48 b_1 = 24 \implies b_1 = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

Ответ: первый член $b_1 = \frac{1}{2}$, знаменатель $q = 4$.

2) Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$. Из условий задачи имеем систему уравнений:

$\begin{cases} b_2 - b_5 = 78 \\ b_3 + b_4 + b_5 = -117 \end{cases}$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, перепишем систему, вынеся общие множители за скобки:

$\begin{cases} b_1 q - b_1 q^4 = 78 \\ b_1 q^2 + b_1 q^3 + b_1 q^4 = -117 \end{cases} \implies \begin{cases} b_1 q (1 - q^3) = 78 \\ b_1 q^2 (1 + q + q^2) = -117 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на первое (при условии, что $b_1 \neq 0, q \neq 0, 1 - q^3 \neq 0$). Применим формулу разности кубов $1 - q^3 = (1 - q)(1 + q + q^2)$ и сократим дроби (НОД(117, 78) = 39):

$\frac{b_1 q^2 (1 + q + q^2)}{b_1 q (1 - q^3)} = \frac{-117}{78} \implies \frac{b_1 q^2 (1 + q + q^2)}{b_1 q (1 - q)(1 + q + q^2)} = -\frac{3}{2} \implies \frac{q}{1 - q} = -\frac{3}{2}$

Решим полученное уравнение для нахождения $q$:

$2q = -3(1 - q) \implies 2q = -3 + 3q \implies q = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q = 3$ в первое уравнение системы $b_1 q (1 - q^3) = 78$:

$b_1 \cdot 3 (1 - 3^3) = 78 \implies b_1 \cdot 3(1 - 27) = 78 \implies b_1 \cdot 3 \cdot (-26) = 78 \implies -78 b_1 = 78 \implies b_1 = -1$

Ответ: первый член $b_1 = -1$, знаменатель $q = 3$.