Номер 859, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

859. Докажите, что если члены последовательности $(b_n)$ отличны от нуля и при любом натуральном $n > 1$ выполняется равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$, то последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией.

По определению, последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, если существует такое число $q \neq 0$ (называемое знаменателем прогрессии), что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Это эквивалентно тому, что отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ является постоянной величиной для всех $n \ge 1$.

Нам даны два условия:

1. Все члены последовательности $(b_n)$ отличны от нуля, то есть $b_n \neq 0$ для любого натурального $n$.
2. Для любого натурального $n > 1$ выполняется равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

Рассмотрим данное равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$. Оно справедливо для всех $n > 1$, то есть для $n = 2, 3, 4, \dots$.

Поскольку по условию все члены последовательности не равны нулю, мы можем разделить обе части этого равенства на произведение $b_{n-1} \cdot b_n$ (так как при $n>1$ индексы $n$ и $n-1$ являются натуральными числами, и соответствующие члены $b_n$ и $b_{n-1}$ отличны от нуля).

$\frac{b_n^2}{b_{n-1} \cdot b_n} = \frac{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}{b_{n-1} \cdot b_n}$

После сокращения дробей в левой и правой частях получаем:

$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n}$

Это равенство показывает, что для любого $n > 1$ отношение члена последовательности к предыдущему члену равно отношению следующего члена к текущему. Давайте посмотрим на это для нескольких значений $n$:

• При $n=2$: $\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}$
• При $n=3$: $\frac{b_3}{b_2} = \frac{b_4}{b_3}$
• При $n=4$: $\frac{b_4}{b_3} = \frac{b_5}{b_4}$

и так далее. Из этого следует, что отношение любого члена к предыдущему постоянно для всех членов, начиная с первого:

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} = \frac{b_4}{b_3} = \dots = \frac{b_{k+1}}{b_k} = \dots$

Обозначим это постоянное отношение буквой $q$. То есть, $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$ для любого $n \ge 1$. Поскольку все $b_n \neq 0$, их отношение $q$ также не равно нулю.

Таким образом, мы показали, что существует постоянное, не равное нулю число $q$, такое что для любого $n \ge 1$ выполняется $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Это и есть определение геометрической прогрессии.

Ответ: Утверждение доказано. Из заданных условий следует, что отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ является постоянной величиной для всех $n \ge 1$, что по определению означает, что последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией.