Номер 864, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

864. Сумма трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 26. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 6 и 3, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите данные числа.

Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$. Тогда эти числа можно записать в виде: $b_1$, $b_1q$, $b_1q^2$.

По первому условию задачи, сумма этих трёх чисел равна 26:

$b_1 + b_1q + b_1q^2 = 26$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q + q^2) = 26$ (1)

По второму условию, если к этим числам прибавить соответственно 1, 6 и 3, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Новые числа будут:

$a_1 = b_1 + 1$

$a_2 = b_1q + 6$

$a_3 = b_1q^2 + 3$

Для любой арифметической прогрессии справедливо свойство: каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов. То есть, $2a_2 = a_1 + a_3$. Подставим наши выражения:

$2(b_1q + 6) = (b_1 + 1) + (b_1q^2 + 3)$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$2b_1q + 12 = b_1 + b_1q^2 + 4$

$12 - 4 = b_1 + b_1q^2 - 2b_1q$

$8 = b_1(1 - 2q + q^2)$

$8 = b_1(q-1)^2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $b_1$ и $q$:

$\begin{cases} b_1(1 + q + q^2) = 26 \\ b_1(q-1)^2 = 8 \end{cases}$

Заметим, что $q \neq 1$, иначе второе уравнение превратилось бы в $0 = 8$, что неверно. Выразим $b_1$ из второго уравнения:

$b_1 = \frac{8}{(q-1)^2}$

Подставим это выражение для $b_1$ в первое уравнение:

$\frac{8}{(q-1)^2}(1 + q + q^2) = 26$

Разделим обе части на 2:

$\frac{4(1 + q + q^2)}{(q-1)^2} = 13$

$4(1 + q + q^2) = 13(q-1)^2$

$4 + 4q + 4q^2 = 13(q^2 - 2q + 1)$

$4 + 4q + 4q^2 = 13q^2 - 26q + 13$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$13q^2 - 4q^2 - 26q - 4q + 13 - 4 = 0$

$9q^2 - 30q + 9 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения:

$q_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$q_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Теперь найдем соответствующее значение $b_1$ для каждого значения $q$.

Случай 1: $q = 3$

$b_1 = \frac{8}{(3-1)^2} = \frac{8}{2^2} = \frac{8}{4} = 2$

Тогда искомые числа:

$b_1 = 2$

$b_2 = b_1q = 2 \cdot 3 = 6$

$b_3 = b_1q^2 = 2 \cdot 3^2 = 18$

Получили числа: 2, 6, 18.

Случай 2: $q = \frac{1}{3}$

$b_1 = \frac{8}{(\frac{1}{3}-1)^2} = \frac{8}{(-\frac{2}{3})^2} = \frac{8}{\frac{4}{9}} = 8 \cdot \frac{9}{4} = 18$

Тогда искомые числа:

$b_1 = 18$

$b_2 = b_1q = 18 \cdot \frac{1}{3} = 6$

$b_3 = b_1q^2 = 18 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 2$

Получили числа: 18, 6, 2.

Оба набора чисел удовлетворяют условию задачи. Проверим первый набор: 2, 6, 18. Сумма $2+6+18=26$. После прибавления 1, 6, 3 получаем числа $2+1=3$, $6+6=12$, $18+3=21$. Числа 3, 12, 21 образуют арифметическую прогрессию с разностью 9.

Ответ: искомые числа – это 2, 6, 18 или 18, 6, 2.