Номер 865, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

865. Найдите значение выражения:

1) $\frac{7^9}{7^{10}}$

2) $\frac{125^3}{25^4}$

3) $\frac{32^5}{64^4}$

4) $\frac{39^8}{3^{10} \cdot 13^7}$

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Формула выглядит так: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Применим эту формулу к данному выражению:

$\frac{7^9}{7^{10}} = 7^{9-10} = 7^{-1}$

Далее используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$7^{-1} = \frac{1}{7^1} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

2) В данном выражении основания степеней (125 и 25) разные, но их можно привести к одному общему основанию — числу 5, так как $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{125^3}{25^4} = \frac{(5^3)^3}{(5^2)^4}$

Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень, согласно которому показатели степеней перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$\frac{5^{3 \cdot 3}}{5^{2 \cdot 4}} = \frac{5^9}{5^8}$

Далее, как и в первом примере, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием:

$5^{9-8} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5.

3) Аналогично предыдущему примеру, приведем основания 32 и 64 к общему основанию. Оба числа являются степенями числа 2: $32 = 2^5$ и $64 = 2^6$.

Подставим эти представления в исходное выражение:

$\frac{32^5}{64^4} = \frac{(2^5)^5}{(2^6)^4}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^{5 \cdot 5}}{2^{6 \cdot 4}} = \frac{2^{25}}{2^{24}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{25-24} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2.

4) В этом выражении необходимо упростить числитель. Разложим число 39 на простые множители: $39 = 3 \cdot 13$.

Подставим разложение в исходное выражение:

$\frac{39^8}{3^{10} \cdot 13^7} = \frac{(3 \cdot 13)^8}{3^{10} \cdot 13^7}$

Воспользуемся свойством степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\frac{3^8 \cdot 13^8}{3^{10} \cdot 13^7}$

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим к ним свойство деления степеней:

$(\frac{3^8}{3^{10}}) \cdot (\frac{13^8}{13^7}) = 3^{8-10} \cdot 13^{8-7} = 3^{-2} \cdot 13^1$

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим:

$\frac{1}{3^2} \cdot 13 = \frac{1}{9} \cdot 13 = \frac{13}{9}$.

Ответ: $\frac{13}{9}$.