Номер 870, страница 239 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

870. Найдите сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$, если:

1) $b_1 = 10, q = 3, n = 4;$

2) $b_1 = -4, q = -1, n = 10;$

3) $b_1 = 0.6, q = 2, n = 5;$

4) $b_1 = 4.5, q = \frac{1}{3}, n = 8;$

5) $b_1 = -9, q = \sqrt{3}, n = 6;$

6) $b_1 = 8, q = -\frac{1}{2}, n = 4.$

Для нахождения суммы $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$)

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов. Если $|q| < 1$, удобнее использовать эквивалентную формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

1) Дано: $b_1 = 10$, $q = 3$, $n = 4$.

Подставляем значения в формулу:

$S_4 = \frac{10(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{10(81 - 1)}{2} = \frac{10 \cdot 80}{2} = 5 \cdot 80 = 400$.

Ответ: $400$.

2) Дано: $b_1 = -4$, $q = -1$, $n = 10$.

Подставляем значения в формулу:

$S_{10} = \frac{-4((-1)^{10} - 1)}{-1 - 1} = \frac{-4(1 - 1)}{-2} = \frac{-4 \cdot 0}{-2} = 0$.

Ответ: $0$.

3) Дано: $b_1 = 0.6$, $q = 2$, $n = 5$.

Подставляем значения в формулу:

$S_5 = \frac{0.6(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{0.6(32 - 1)}{1} = 0.6 \cdot 31 = 18.6$.

Ответ: $18.6$.

4) Дано: $b_1 = 4.5$, $q = \frac{1}{3}$, $n = 8$.

Так как $|q| < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$:

$S_8 = \frac{4.5(1 - (\frac{1}{3})^8)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{9}{2}(1 - \frac{1}{6561})}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{9}{2} \cdot \frac{6560}{6561}}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{6560}{6561} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9 \cdot 6560 \cdot 3}{4 \cdot 6561}$.

Упростим выражение, зная что $6561 = 3^8 = 27 \cdot 243$:

$S_8 = \frac{27 \cdot 6560}{4 \cdot 27 \cdot 243} = \frac{6560}{4 \cdot 243} = \frac{1640}{243}$.

Ответ: $\frac{1640}{243}$.

5) Дано: $b_1 = -9$, $q = \sqrt{3}$, $n = 6$.

Подставляем значения в формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_6 = \frac{-9((\sqrt{3})^6 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-9(3^3 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-9(27 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-9 \cdot 26}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-234}{\sqrt{3} - 1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{3} + 1)$:

$S_6 = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{-234(\sqrt{3} + 1)}{2} = -117(\sqrt{3} + 1)$.

Ответ: $-117(\sqrt{3} + 1)$.

6) Дано: $b_1 = 8$, $q = -\frac{1}{2}$, $n = 4$.

Так как $|q| < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$:

$S_4 = \frac{8(1 - (-\frac{1}{2})^4)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{8(1 - \frac{1}{16})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot \frac{15}{16}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{15}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{15}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{15}{3} = 5$.

Ответ: $5$.