Номер 867, страница 237 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

867. Докажите тождество:

$\left( \frac{2b}{b^3+1} : \frac{1-b}{b^2-b+1} + \frac{2}{b-1} \right) \cdot \frac{b^2-2b+1}{4} : \frac{b-1}{b+1} = \frac{1}{2}.$

Чтобы доказать тождество, необходимо упростить его левую часть и показать, что она равна правой. Будем выполнять преобразования по действиям.

Левая часть тождества: $ \left( \frac{2b}{b^3 + 1} : \frac{1-b}{b^2 - b + 1} + \frac{2}{b-1} \right) \cdot \frac{b^2 - 2b + 1}{4} : \frac{b-1}{b+1} $

1. Выполним действия в скобках.

Первым действием в скобках является деление. Используем формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $ для знаменателя первой дроби:

$ \frac{2b}{b^3 + 1} : \frac{1-b}{b^2 - b + 1} = \frac{2b}{(b+1)(b^2 - b + 1)} \cdot \frac{b^2 - b + 1}{1-b} $

Сокращаем общий множитель $ (b^2 - b + 1) $:

$ \frac{2b}{b+1} \cdot \frac{1}{1-b} = \frac{2b}{(b+1)(1-b)} $

Теперь выполним сложение. Для этого представим $ 1-b $ как $ -(b-1) $:

$ \frac{2b}{(b+1)(1-b)} + \frac{2}{b-1} = \frac{2b}{-(b+1)(b-1)} + \frac{2}{b-1} = -\frac{2b}{(b+1)(b-1)} + \frac{2}{b-1} $

Приводим дроби к общему знаменателю $ (b+1)(b-1) $:

$ \frac{-2b}{(b+1)(b-1)} + \frac{2(b+1)}{(b+1)(b-1)} = \frac{-2b + 2b + 2}{(b+1)(b-1)} = \frac{2}{(b+1)(b-1)} $

Результат выражения в скобках равен $ \frac{2}{b^2 - 1} $.

2. Выполним оставшиеся действия умножения и деления.

Подставим полученный результат в выражение:

$ \frac{2}{b^2 - 1} \cdot \frac{b^2 - 2b + 1}{4} : \frac{b-1}{b+1} $

Сначала выполним умножение. Используем формулы сокращенного умножения: $ b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2 $ и $ b^2 - 1 = (b-1)(b+1) $.

$ \frac{2}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{(b-1)^2}{4} $

Сокращаем общие множители: 2 и 4 на 2, и $ (b-1) $:

$ \frac{1}{(b+1)} \cdot \frac{b-1}{2} = \frac{b-1}{2(b+1)} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{b-1}{2(b+1)} : \frac{b-1}{b+1} = \frac{b-1}{2(b+1)} \cdot \frac{b+1}{b-1} $

Сокращаем $ (b-1) $ в числителе и знаменателе, и $ (b+1) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $

В результате упрощения левой части мы получили $ \frac{1}{2} $, что равно правой части исходного выражения. Следовательно, тождество верно для всех допустимых значений переменной $ b $ (где $ b \neq 1 $ и $ b \neq -1 $).

Ответ: Тождество доказано.