Номер 873, страница 240 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

873. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии:

1) -0,6; 3; -15; ...;

2) 56; 42; 31,5; ... .

1) Для решения задачи необходимо найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии $-0,6; 3; -15; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = -0,6$.

Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{-0,6} = -5$.

Для проверки можно разделить третий член на второй: $q = \frac{-15}{3} = -5$. Знаменатель найден верно.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

В нашем случае $n=4$. Подставим значения $b_1 = -0,6$, $q = -5$ и $n = 4$ в формулу:

$S_4 = \frac{-0,6 \cdot ((-5)^4 - 1)}{-5 - 1} = \frac{-0,6 \cdot (625 - 1)}{-6} = \frac{-0,6 \cdot 624}{-6}$

Сократим $-0,6$ и $-6$:

$S_4 = 0,1 \cdot 624 = 62,4$.

Ответ: $62,4$.

2) Для решения задачи необходимо найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии $56; 42; 31,5; \dots$

Первый член прогрессии $b_1 = 56$.

Найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{42}{56} = \frac{3 \cdot 14}{4 \cdot 14} = \frac{3}{4}$.

Для проверки можно разделить третий член на второй: $q = \frac{31,5}{42} = \frac{63/2}{42} = \frac{63}{2 \cdot 42} = \frac{63}{84} = \frac{3 \cdot 21}{4 \cdot 21} = \frac{3}{4}$. Знаменатель найден верно.

Используем ту же формулу для суммы первых четырех членов ($n=4$):

$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1}$

Подставим значения $b_1 = 56$ и $q = \frac{3}{4}$:

$S_4 = \frac{56 \cdot ((\frac{3}{4})^4 - 1)}{\frac{3}{4} - 1} = \frac{56 \cdot (\frac{81}{256} - 1)}{-\frac{1}{4}} = \frac{56 \cdot (\frac{81 - 256}{256})}{-\frac{1}{4}} = \frac{56 \cdot (\frac{-175}{256})}{-\frac{1}{4}}$

Умножим числитель на $-4$ (что эквивалентно делению на $-\frac{1}{4}$):

$S_4 = 56 \cdot \frac{175}{256} \cdot 4 = 56 \cdot \frac{175}{64}$

Сократим $56$ и $64$ на $8$:

$S_4 = 7 \cdot \frac{175}{8} = \frac{1225}{8} = 153,125$.

Ответ: $153,125$.