Номер 858, страница 236 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

858. При каком значении $x$ значения выражений $x+6$, $x+2$ и $3x-4$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

По определению геометрической прогрессии, для любых трех ее последовательных членов $b_{n-1}$, $b_n$, $b_{n+1}$ выполняется равенство $b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$.

В данной задаче нам даны три последовательных члена прогрессии:

$b_1 = x + 6$

$b_2 = x + 2$

$b_3 = 3x - 4$

Применим к ним свойство геометрической прогрессии, чтобы составить уравнение:

$(x + 2)^2 = (x + 6)(3x - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, чтобы найти значение $x$:

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 - 4x + 18x - 24$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 14x - 24$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - x^2 + 14x - 4x - 24 - 4 = 0$

$2x^2 + 10x - 28 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -14$. Подбором находим корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -7$

Мы нашли два возможных значения $x$. Теперь для каждого из них найдем члены прогрессии.

Случай 1: при $x = 2$

Подставим это значение $x$ в выражения для членов прогрессии:

$b_1 = 2 + 6 = 8$

$b_2 = 2 + 2 = 4$

$b_3 = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$

Получили последовательность: 8, 4, 2. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Случай 2: при $x = -7$

Подставим это значение $x$ в выражения для членов прогрессии:

$b_1 = -7 + 6 = -1$

$b_2 = -7 + 2 = -5$

$b_3 = 3(-7) - 4 = -21 - 4 = -25$

Получили последовательность: -1, -5, -25. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{-5}{-1} = 5$.

Ответ: при $x=2$ члены прогрессии равны 8, 4, 2; при $x=-7$ члены прогрессии равны -1, -5, -25.