Номер 850, страница 235 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

850. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) $2^{-n}$, $2^{-2n}$, $2^{-3n}$, $2^{-4n}$.

2) $2n$, $2n^2$, $2n^3$, $2n^4$;

3) $2n$, $2n + 1$, $2n + 2$, $2n + 3?$

В случае утвердительного ответа укажите знаменатель прогрессии.

1) Чтобы определить, является ли последовательность $2^{-n}, 2^{-2n}, 2^{-3n}, 2^{-4n}, \dots$ геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянной величиной (знаменателем прогрессии $q$).
Обозначим члены последовательности как $b_1 = 2^{-n}$, $b_2 = 2^{-2n}$, $b_3 = 2^{-3n}$ и так далее. Общий член последовательности можно записать как $b_k = 2^{-kn}$.
Найдем отношение второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2^{-2n}}{2^{-n}} = 2^{-2n - (-n)} = 2^{-2n+n} = 2^{-n}$.
Найдем отношение третьего члена ко второму:
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{2^{-3n}}{2^{-2n}} = 2^{-3n - (-2n)} = 2^{-3n+2n} = 2^{-n}$.
Так как отношение соседних членов последовательности постоянно и равно $2^{-n}$, данная последовательность является геометрической прогрессией.
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии $q = 2^{-n}$.

2) Рассмотрим последовательность $2n, 2n^2, 2n^3, 2n^4, \dots$.
Обозначим члены последовательности как $c_1 = 2n, c_2 = 2n^2, c_3 = 2n^3$ и так далее. Общий член: $c_k = 2n^k$.
Проверим отношение соседних членов. Для $n \neq 0$:
$\frac{c_2}{c_1} = \frac{2n^2}{2n} = n$.
$\frac{c_3}{c_2} = \frac{2n^3}{2n^2} = n$.
Отношение постоянно и равно $n$.
В случае, если $n=0$, последовательность принимает вид $0, 0, 0, \dots$. Это также является геометрической прогрессией (с первым членом $0$ и знаменателем $q=0$, что соответствует найденной формуле $q=n$).
Таким образом, последовательность является геометрической прогрессией при любом значении $n$.
Ответ: Да, является. Знаменатель прогрессии $q = n$.

3) Рассмотрим последовательность $2n, 2n+1, 2n+2, 2n+3, \dots$.
Обозначим члены последовательности как $d_1 = 2n$, $d_2 = 2n+1$, $d_3 = 2n+2$.
Найдем отношение второго члена к первому (предполагая $n \neq 0$):
$\frac{d_2}{d_1} = \frac{2n+1}{2n}$.
Найдем отношение третьего члена ко второму (предполагая $2n+1 \neq 0$):
$\frac{d_3}{d_2} = \frac{2n+2}{2n+1}$.
Чтобы последовательность была геометрической, эти отношения должны быть равны:
$\frac{2n+1}{2n} = \frac{2n+2}{2n+1}$
Перемножив крест-накрест, получим:
$(2n+1)(2n+1) = 2n(2n+2)$
$4n^2 + 4n + 1 = 4n^2 + 4n$
$1 = 0$
Полученное равенство неверно. Это означает, что отношение соседних членов не является постоянной величиной ни при каком значении $n$ (для которого члены определены и не равны нулю). Следовательно, последовательность не является геометрической прогрессией. (Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью 1).
Ответ: Нет, не является.