Номер 836, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

836. Найдите первый член геометрической прогрессии $(c_n)$, если:

1) $c_4 = \frac{1}{98}$, а знаменатель $q = \frac{2}{7}$;

2) $c_6 = 100$, $c_9 = 100 000$.

1)

Формула n-го члена геометрической прогрессии ($c_n$) имеет вид: $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$, где $c_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию задачи даны четвертый член прогрессии $c_4 = \frac{1}{98}$ и знаменатель $q = \frac{2}{7}$.

Подставим эти значения в формулу для n-го члена при $n=4$:

$c_4 = c_1 \cdot q^{4-1} = c_1 \cdot q^3$

$\frac{1}{98} = c_1 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^3$

Сначала вычислим значение знаменателя в кубе:

$\left(\frac{2}{7}\right)^3 = \frac{2^3}{7^3} = \frac{8}{343}$

Теперь подставим полученное значение обратно в уравнение:

$\frac{1}{98} = c_1 \cdot \frac{8}{343}$

Чтобы найти $c_1$, нужно разделить $\frac{1}{98}$ на $\frac{8}{343}$:

$c_1 = \frac{1}{98} \div \frac{8}{343} = \frac{1}{98} \cdot \frac{343}{8}$

Для упрощения дроби разложим числа 98 и 343 на простые множители. Мы знаем, что $343 = 7^3$, а $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$.

$c_1 = \frac{1}{2 \cdot 7^2} \cdot \frac{7^3}{8} = \frac{7^{3-2}}{2 \cdot 8} = \frac{7}{16}$

Ответ: $c_1 = \frac{7}{16}$.

2)

По условию задачи даны два члена прогрессии: $c_6 = 100$ и $c_9 = 100\:000$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Для этого воспользуемся свойством геометрической прогрессии, которое связывает любые два её члена: $c_n = c_m \cdot q^{n-m}$.

Подставим наши значения, взяв $n=9$ и $m=6$:

$c_9 = c_6 \cdot q^{9-6}$

$100\:000 = 100 \cdot q^3$

Теперь найдем $q^3$, разделив обе части уравнения на 100:

$q^3 = \frac{100\:000}{100} = 1000$

Из этого следует, что знаменатель $q$ равен:

$q = \sqrt[3]{1000} = 10$

Теперь, зная знаменатель $q$, мы можем найти первый член прогрессии $c_1$. Используем формулу n-го члена $c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$ и известный член прогрессии, например, $c_6 = 100$.

$c_6 = c_1 \cdot q^{6-1} = c_1 \cdot q^5$

Подставим известные значения $c_6=100$ и $q=10$:

$100 = c_1 \cdot 10^5$

$100 = c_1 \cdot 100\:000$

Выразим $c_1$:

$c_1 = \frac{100}{100\:000} = \frac{1}{1000}$

Ответ: $c_1 = \frac{1}{1000}$.