Номер 831, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

831. Докажите, что если последовательность $(x_n)$ – геометрическая прогрессия, то $x_3 x_{13} = x_5 x_{11}$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии. Пусть $(x_n)$ — геометрическая прогрессия, где $x_1$ — её первый член, а $q$ — её знаменатель. Тогда любой член этой прогрессии можно выразить по формуле: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.

Необходимо доказать, что $x_3 \cdot x_{13} = x_5 \cdot x_{11}$. Для этого преобразуем левую и правую части этого равенства, используя формулу n-го члена.

Левая часть равенства:

Сначала выразим члены $x_3$ и $x_{13}$:
$x_3 = x_1 \cdot q^{3-1} = x_1 \cdot q^2$
$x_{13} = x_1 \cdot q^{13-1} = x_1 \cdot q^{12}$

Теперь найдем их произведение:
$x_3 \cdot x_{13} = (x_1 \cdot q^2) \cdot (x_1 \cdot q^{12}) = x_1^2 \cdot q^{2+12} = x_1^2 \cdot q^{14}$.

Правая часть равенства:

Выразим члены $x_5$ и $x_{11}$:
$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = x_1 \cdot q^4$
$x_{11} = x_1 \cdot q^{11-1} = x_1 \cdot q^{10}$

Найдем их произведение:
$x_5 \cdot x_{11} = (x_1 \cdot q^4) \cdot (x_1 \cdot q^{10}) = x_1^2 \cdot q^{4+10} = x_1^2 \cdot q^{14}$.

Заключение:

Мы получили, что левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же выражению $x_1^2 \cdot q^{14}$. Таким образом, мы доказали, что $x_3 \cdot x_{13} = x_5 \cdot x_{11}$.

Данное свойство является частным случаем более общего свойства членов геометрической прогрессии: если для натуральных чисел $k, l, m, p$ выполняется равенство $k+l=m+p$, то и $x_k \cdot x_l = x_m \cdot x_p$. В нашем случае $3+13=16$ и $5+11=16$.

Ответ: Равенство доказано. После выражения всех членов прогрессии через первый член $x_1$ и знаменатель $q$ было показано, что обе части равенства, левая ($x_3 \cdot x_{13}$) и правая ($x_5 \cdot x_{11}$), равны одному и тому же выражению $x_1^2 \cdot q^{14}$.