Номер 832, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

832. Докажите, что если последовательность $(y_n)$ – геометрическая прогрессия, то $y_4y_{21}=y_8y_{17}$

По определению, последовательность $(y_n)$ является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа $n$ её член может быть вычислен по формуле: $y_n = y_1 \cdot q^{n-1}$ где $y_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Чтобы доказать равенство $y_4 y_{21} = y_8 y_{17}$, мы выразим каждую из его частей через $y_1$ и $q$.

Сначала преобразуем левую часть равенства. Для этого выразим члены $y_4$ и $y_{21}$: $y_4 = y_1 \cdot q^{4-1} = y_1 q^3$
$y_{21} = y_1 \cdot q^{21-1} = y_1 q^{20}$

Теперь найдём их произведение: $y_4 \cdot y_{21} = (y_1 q^3) \cdot (y_1 q^{20}) = y_1^2 \cdot q^{3+20} = y_1^2 q^{23}$

Далее преобразуем правую часть равенства. Для этого выразим члены $y_8$ и $y_{17}$: $y_8 = y_1 \cdot q^{8-1} = y_1 q^7$
$y_{17} = y_1 \cdot q^{17-1} = y_1 q^{16}$

Найдём их произведение: $y_8 \cdot y_{17} = (y_1 q^7) \cdot (y_1 q^{16}) = y_1^2 \cdot q^{7+16} = y_1^2 q^{23}$

Сравнивая результаты, мы видим, что левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению: $y_4 y_{21} = y_1^2 q^{23}$
$y_8 y_{17} = y_1^2 q^{23}$

Следовательно, $y_4 y_{21} = y_8 y_{17}$, что и требовалось доказать.

Замечание: Это является частным случаем общего свойства геометрической прогрессии: если для натуральных чисел $k, l, m, n$ выполняется равенство $k+l = m+n$, то выполняется и равенство $y_k \cdot y_l = y_m \cdot y_n$. В нашей задаче суммы индексов равны: $4+21 = 25$ и $8+17=25$.

Ответ: Равенство $y_4 y_{21} = y_8 y_{17}$ доказано.