Номер 830, страница 234 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

830. Найдите знаменатель и шестой член геометрической прогрессии $18, 12, 8, \dots$.

Дана геометрическая прогрессия, первыми членами которой являются числа 18, 12, 8. Обозначим эту прогрессию как $(b_n)$, где первый член $b_1 = 18$, второй член $b_2 = 12$ и третий член $b_3 = 8$.

Знаменатель геометрической прогрессии, обозначаемый как $q$, представляет собой постоянное отношение любого члена прогрессии к предыдущему. Для его нахождения можно разделить второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{18}$

Сократив эту дробь на 6, получаем:

$q = \frac{2}{3}$

Для уверенности можно проверить это значение, разделив третий член на второй:

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Поскольку отношения равны, знаменатель прогрессии найден верно.

Ответ: знаменатель прогрессии равен $\frac{2}{3}$.

Для нахождения любого члена геометрической прогрессии используется формула $n$-го члена:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Чтобы найти шестой член ($b_6$), мы подставим в формулу известные нам значения: $n=6$, $b_1=18$ и $q=\frac{2}{3}$.

$b_6 = 18 \cdot (\frac{2}{3})^{6-1} = 18 \cdot (\frac{2}{3})^5$

Вычислим значение выражения:

$b_6 = 18 \cdot \frac{2^5}{3^5} = 18 \cdot \frac{32}{243}$

Теперь выполним умножение и сократим полученную дробь. Числитель $18$ и знаменатель $243$ делятся на 9.

$b_6 = \frac{18 \cdot 32}{243} = \frac{(2 \cdot 9) \cdot 32}{27 \cdot 9} = \frac{2 \cdot 32}{27} = \frac{64}{27}$

Данную неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа: $2\frac{10}{27}$.

Ответ: шестой член прогрессии равен $\frac{64}{27}$.