Номер 2, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Какое число называют знаменателем геометрической прогрессии?

1. Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Это означает, что для последовательности $b_1, b_2, b_3, \dots, b_n, \dots$ выполняются следующие условия:
1. Все члены последовательности не равны нулю: $b_n \neq 0$ для любого $n$.
2. Существует такое число $q \neq 0$, называемое знаменателем прогрессии, что для любого натурального $n$ выполняется равенство: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.
Например, последовательность 2, 6, 18, 54, ... является геометрической прогрессией, так как ее первый член $b_1 = 2$, а каждый последующий член в 3 раза больше предыдущего. Здесь знаменатель прогрессии $q = 3$.
Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Ответ: Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число.

2. Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное число $q$, показывающее, во сколько раз каждый последующий член прогрессии отличается от предыдущего. Знаменатель прогрессии не может быть равен нулю ($q \neq 0$).
Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, необходимо любой её член, начиная со второго, разделить на предыдущий:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$
Например, для геометрической прогрессии 100, -50, 25, -12.5, ... знаменатель $q$ будет равен:
$q = \frac{-50}{100} = -0.5$
Значение знаменателя $q$ определяет поведение прогрессии:
- если $q > 1$, прогрессия возрастает (при $b_1 > 0$) или убывает (при $b_1 < 0$);
- если $q=1$, прогрессия является стационарной (все члены равны);
- если $0 < q < 1$, прогрессия убывает (при $b_1 > 0$) или возрастает (при $b_1 < 0$);
- если $q < 0$, прогрессия является знакочередующейся.
Ответ: Знаменатель геометрической прогрессии — это число $q$, равное отношению любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену ($q = b_{n+1}/b_n$).