Номер 816, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

816. Найдите все пары (x, y), удовлетворяющие уравнению

$\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} = x^2 + y^2 + 2.$

Преобразуем исходное уравнение. Заметим, что правую часть можно представить в виде $(x^2 + 1) + (y^2 + 1)$. Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их следующим образом:
$(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1}) - ((x^2 + 1) + (y^2 + 1)) = 0$
$(x^2 + 1 - \sqrt{x^2 + 1}) + (y^2 + 1 - \sqrt{y^2 + 1}) = 0$

Рассмотрим функцию $f(t) = t^2 - t$. Тогда наше уравнение можно записать в виде:
$f(\sqrt{x^2 + 1}) + f(\sqrt{y^2 + 1}) = 0$

Определим область значений для аргументов функции $f$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{1} = 1$. Аналогично, $y^2 \ge 0$, поэтому $y^2 + 1 \ge 1$ и $\sqrt{y^2 + 1} \ge 1$. Таким образом, аргументы функции $f$ всегда больше или равны 1.

Исследуем функцию $f(t) = t^2 - t$ на промежутке $[1, +\infty)$. Мы можем переписать ее как $f(t) = t(t-1)$. При $t \ge 1$ оба множителя неотрицательны: $t > 0$ и $(t-1) \ge 0$. Следовательно, их произведение $f(t) = t(t-1) \ge 0$ для всех $t \ge 1$. Равенство $f(t) = 0$ достигается только в одной точке этого промежутка, при $t=1$.

Вернемся к уравнению $f(\sqrt{x^2 + 1}) + f(\sqrt{y^2 + 1}) = 0$. Поскольку мы установили, что $f(t) \ge 0$ для всех $t \ge 1$, то оба слагаемых в левой части уравнения неотрицательны. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$\begin{cases} f(\sqrt{x^2 + 1}) = 0 \\ f(\sqrt{y^2 + 1}) = 0 \end{cases}$

Из того, что $f(t)=0$ только при $t=1$, следует:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + 1} = 1 \\ \sqrt{y^2 + 1} = 1 \end{cases}$

Возведя обе части каждого уравнения в квадрат, получим:
$\begin{cases} x^2 + 1 = 1 \\ y^2 + 1 = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases}$

Отсюда следует, что единственное решение — это $x=0$ и $y=0$.

Ответ: $(0, 0)$.