Номер 817, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

817. Среди данных последовательностей укажите геометрические прогрессии, первый член и знаменатель каждой из них:

1) 2, 6, 18, 36;

2) 4, 8, 16, 32;

3) 10, 20, 30, 40;

4) 81, 27, 9, 3;

5) 2, -2, 2, -2;

6) $-$\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, -1, 2;

7) -9, -9, -9, -9;

8) 1, 2, 3, 5;

9) $\sqrt{2}$, 2, $2\sqrt{2}$, 4.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел $b_1, b_2, b_3, \dots$, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число $q$ (знаменатель прогрессии). То есть, $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Чтобы проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией, нужно найти отношение любого члена к предыдущему. Если это отношение постоянно для всей последовательности, то она является геометрической.

1) 2, 6, 18, 36;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{6}{2} = 3$
$\frac{18}{6} = 3$
$\frac{36}{18} = 2$
Так как отношение не является постоянным ($3 \neq 2$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: не является геометрической прогрессией.

2) 4, 8, 16, 32;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{8}{4} = 2$
$\frac{16}{8} = 2$
$\frac{32}{16} = 2$
Отношение постоянно и равно 2. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = 4$, знаменатель $q = 2$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = 4$, знаменатель $q = 2$.

3) 10, 20, 30, 40;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{20}{10} = 2$
$\frac{30}{20} = 1.5$
Так как отношение не является постоянным ($2 \neq 1.5$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: не является геометрической прогрессией.

4) 81, 27, 9, 3;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{27}{81} = \frac{1}{3}$
$\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$
$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
Отношение постоянно и равно $\frac{1}{3}$. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = 81$, знаменатель $q = \frac{1}{3}$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = 81$, знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

5) 2, -2, 2, -2;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{-2}{2} = -1$
$\frac{2}{-2} = -1$
$\frac{-2}{2} = -1$
Отношение постоянно и равно -1. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = 2$, знаменатель $q = -1$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = 2$, знаменатель $q = -1$.

6) $-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, -1, 2;$
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{1/2}{-1/4} = -\frac{1}{2} \cdot 4 = -2$
$\frac{-1}{1/2} = -1 \cdot 2 = -2$
$\frac{2}{-1} = -2$
Отношение постоянно и равно -2. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = -\frac{1}{4}$, знаменатель $q = -2$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = -\frac{1}{4}$, знаменатель $q = -2$.

7) -9, -9, -9, -9;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{-9}{-9} = 1$
Отношение постоянно и равно 1. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = -9$, знаменатель $q = 1$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = -9$, знаменатель $q = 1$.

8) 1, 2, 3, 5;
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{2}{1} = 2$
$\frac{3}{2} = 1.5$
Так как отношение не является постоянным ($2 \neq 1.5$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.
Ответ: не является геометрической прогрессией.

9) $\sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4$.
Проверим отношение между соседними членами последовательности: $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
$\frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
Отношение постоянно и равно $\sqrt{2}$. Следовательно, это геометрическая прогрессия. Первый член $b_1 = \sqrt{2}$, знаменатель $q = \sqrt{2}$.
Ответ: является геометрической прогрессией, первый член $b_1 = \sqrt{2}$, знаменатель $q = \sqrt{2}$.