Номер 821, страница 233 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

821. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

1) $b_{12} = 24$, $b_{13} = 4$;

2) $b_4 = -\frac{2}{9}$, $b_5 = \frac{4}{15}$.

1)

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ — это постоянное число, на которое умножается каждый член прогрессии для получения следующего члена. Чтобы найти знаменатель, достаточно разделить любой член прогрессии на предшествующий ему член.

Формула для нахождения знаменателя $q$ через два последовательных члена $b_n$ и $b_{n+1}$ выглядит так: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

В условии даны двенадцатый и тринадцатый члены прогрессии: $b_{12} = 24$ и $b_{13} = 4$. Это два последовательных члена.

Подставим эти значения в формулу, приняв $n=12$:

$q = \frac{b_{13}}{b_{12}} = \frac{4}{24}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$q = \frac{4 \div 4}{24 \div 4} = \frac{1}{6}$

Ответ: $q = \frac{1}{6}$

2)

Для решения этого пункта используется та же формула для нахождения знаменателя геометрической прогрессии: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$.

В условии даны четвертый и пятый члены прогрессии: $b_4 = -\frac{2}{9}$ и $b_5 = \frac{4}{15}$.

Подставим эти значения в формулу, приняв $n=4$:

$q = \frac{b_5}{b_4} = \frac{\frac{4}{15}}{-\frac{2}{9}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$q = \frac{4}{15} \cdot \left(-\frac{9}{2}\right) = -\frac{4 \cdot 9}{15 \cdot 2}$

Теперь сократим полученное выражение. Можно заметить, что 4 и 2 сокращаются на 2, а 9 и 15 сокращаются на 3:

$q = -\frac{(2 \cdot \cancel{2}) \cdot (3 \cdot \cancel{3})}{(\cancel{3} \cdot 5) \cdot \cancel{2}} = -\frac{2 \cdot 3}{5} = -\frac{6}{5}$

Ответ: $q = -\frac{6}{5}$