Номер 814, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

814. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{bc}}$;

2) $\frac{d-49}{d+12\sqrt{d}+36} \cdot \frac{4\sqrt{d}+24}{3\sqrt{d}+21}$

1)

Для сложения дробей $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{bc}}$ приведем их к общему знаменателю. Знаменатели можно представить как $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и $\sqrt{bc} = \sqrt{b}\sqrt{c}$. Наименьший общий знаменатель будет $\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c} = \sqrt{abc}$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $\sqrt{c}$, а второй дроби — на $\sqrt{a}$:

$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})\sqrt{c}}{\sqrt{ab}\sqrt{c}} + \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{c})\sqrt{a}}{\sqrt{bc}\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{ac}-\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}} + \frac{(\sqrt{a})^2-\sqrt{ac}}{\sqrt{abc}} = \frac{\sqrt{ac}-\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}} + \frac{a-\sqrt{ac}}{\sqrt{abc}}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{\sqrt{ac}-\sqrt{bc} + a-\sqrt{ac}}{\sqrt{abc}}$

В числителе слагаемые $\sqrt{ac}$ и $-\sqrt{ac}$ взаимно уничтожаются:

$\frac{a-\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}}$

Ответ: $\frac{a-\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}}$

2)

Для упрощения выражения $\frac{d-49}{d+12\sqrt{d}+36} \cdot \frac{4\sqrt{d}+24}{3\sqrt{d}+21}$ разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Рассмотрим первую дробь. Её числитель $d-49$ — это разность квадратов: $d-49 = (\sqrt{d})^2 - 7^2 = (\sqrt{d}-7)(\sqrt{d}+7)$.

Знаменатель первой дроби $d+12\sqrt{d}+36$ — это полный квадрат суммы: $d+12\sqrt{d}+36 = (\sqrt{d})^2 + 2\cdot\sqrt{d}\cdot 6 + 6^2 = (\sqrt{d}+6)^2$.

Таким образом, первая дробь равна: $\frac{(\sqrt{d}-7)(\sqrt{d}+7)}{(\sqrt{d}+6)^2}$.

Рассмотрим вторую дробь. В её числителе $4\sqrt{d}+24$ вынесем общий множитель 4 за скобки: $4(\sqrt{d}+6)$.

В знаменателе второй дроби $3\sqrt{d}+21$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(\sqrt{d}+7)$.

Таким образом, вторая дробь равна: $\frac{4(\sqrt{d}+6)}{3(\sqrt{d}+7)}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{(\sqrt{d}-7)(\sqrt{d}+7)}{(\sqrt{d}+6)^2} \cdot \frac{4(\sqrt{d}+6)}{3(\sqrt{d}+7)} = \frac{(\sqrt{d}-7)(\sqrt{d}+7)}{(\sqrt{d}+6)(\sqrt{d}+6)} \cdot \frac{4(\sqrt{d}+6)}{3(\sqrt{d}+7)}$

Сократим общие множители $(\sqrt{d}+7)$ и $(\sqrt{d}+6)$ в числителях и знаменателях:

$\frac{(\sqrt{d}-7)}{(\sqrt{d}+6)} \cdot \frac{4}{3}$

Результат умножения:

$\frac{4(\sqrt{d}-7)}{3(\sqrt{d}+6)}$

Ответ: $\frac{4(\sqrt{d}-7)}{3(\sqrt{d}+6)}$