Номер 795, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

795. Может ли сумма каких-либо четырёх последовательных членов арифметической прогрессии $2, 8, 14, \dots$ быть равной 176? В случае утвердительного ответа найдите эти члены.

Для ответа на этот вопрос сначала определим параметры заданной арифметической прогрессии.

Дана прогрессия: $2, 8, 14, ...$
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Найдем разность прогрессии $d$, которая является постоянной разницей между последующим и предыдущим членами:
$d = a_2 - a_1 = 8 - 2 = 6$.
Проверим: $a_3 - a_2 = 14 - 8 = 6$.
Разность прогрессии $d = 6$.

Теперь предположим, что сумма четырех последовательных членов этой прогрессии может быть равна 176. Обозначим первый из этих четырех членов как $a_n$. Тогда эти четыре члена будут: $a_n$, $a_{n+1}$, $a_{n+2}$ и $a_{n+3}$.

Выразим эти члены через $a_n$ и разность $d$:
Второй член: $a_{n+1} = a_n + d = a_n + 6$
Третий член: $a_{n+2} = a_n + 2d = a_n + 2 \cdot 6 = a_n + 12$
Четвертый член: $a_{n+3} = a_n + 3d = a_n + 3 \cdot 6 = a_n + 18$

Их сумма $S$ равна:
$S = a_n + (a_n + 6) + (a_n + 12) + (a_n + 18)$
$S = 4a_n + 36$

По условию задачи, эта сумма должна быть равна 176. Составим и решим уравнение:
$4a_n + 36 = 176$
$4a_n = 176 - 36$
$4a_n = 140$
$a_n = \frac{140}{4}$
$a_n = 35$

Мы нашли, что первый из четырех последовательных членов должен быть равен 35. Теперь нужно проверить, является ли 35 членом исходной арифметической прогрессии. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Мы должны найти, существует ли такое натуральное число $n$ (номер члена), для которого $a_n = 35$.

Подставим известные значения $a_n=35$, $a_1=2$ и $d=6$:
$35 = 2 + (n-1) \cdot 6$
$35 - 2 = (n-1) \cdot 6$
$33 = 6(n-1)$
$n-1 = \frac{33}{6}$
$n-1 = 5.5$
$n = 6.5$

Номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом ($1, 2, 3, ...$). Поскольку мы получили $n = 6.5$, которое не является натуральным числом, число 35 не является членом данной арифметической прогрессии. Следовательно, не существует четырех последовательных членов этой прогрессии, сумма которых равна 176.

Ответ: нет, не может.