Номер 792, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

792. Первый член арифметической прогрессии равен $-9$, а разность равна $6$. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной $960$?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$,где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов, которое нам нужно найти.

По условию задачи нам известны следующие значения:

Первый член прогрессии $a_1 = -9$.

Разность прогрессии $d = 6$.

Сумма первых $n$ членов $S_n = 960$.

Подставим эти значения в формулу суммы и решим получившееся уравнение относительно $n$:

$960 = \frac{2 \cdot (-9) + 6 \cdot (n-1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение в числителе дроби:

$960 = \frac{-18 + 6n - 6}{2} \cdot n$

$960 = \frac{6n - 24}{2} \cdot n$

Разделим числитель на знаменатель:

$960 = (3n - 12) \cdot n$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$960 = 3n^2 - 12n$

$3n^2 - 12n - 960 = 0$

Чтобы упростить вычисления, разделим все члены уравнения на 3:

$n^2 - 4n - 320 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n = \frac{-(-4) \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 36}{2}$

Получаем два возможных значения для $n$:

$n_1 = \frac{4 + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$n_2 = \frac{4 - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку $n$ — это количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, корень $n_2 = -16$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $n_1 = 20$.

Ответ: нужно взять 20 первых членов прогрессии.