Номер 793, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

793. Какое наименьшее количество последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с числа 7, надо сложить, чтобы получить сумму, большую чем 315?

Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее натуральное число $n$, для которого сумма $n$ последовательных нечётных чисел, начиная с 7, будет больше 315.

Данная последовательность чисел (7, 9, 11, ...) является арифметической прогрессией. Определим её параметры:

• Первый член прогрессии $a_1 = 7$.
• Разность прогрессии $d = 2$ (так как это последовательные нечётные числа).

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения $a_1 = 7$ и $d = 2$ в эту формулу: $S_n = \frac{2 \cdot 7 + 2(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение для суммы: $S_n = \frac{14 + 2n - 2}{2} \cdot n = \frac{12 + 2n}{2} \cdot n = (6 + n)n = n^2 + 6n$

Согласно условию задачи, сумма должна быть больше 315. Это приводит к следующему неравенству: $S_n > 315$
$n^2 + 6n > 315$

Для решения этого квадратного неравенства перенесём все слагаемые в одну сторону: $n^2 + 6n - 315 > 0$

Сначала решим соответствующее квадратное уравнение $n^2 + 6n - 315 = 0$, чтобы найти его корни. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-315) = 36 + 1260 = 1296$

Теперь найдём корни уравнения, зная, что $\sqrt{1296} = 36$:
$n_1 = \frac{-6 + 36}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$n_2 = \frac{-6 - 36}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Парабола $y = n^2 + 6n - 315$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $n^2 + 6n - 315 > 0$ выполняется, когда $n$ находится за пределами отрезка между корнями, то есть при $n < -21$ или $n > 15$.

Поскольку $n$ обозначает количество чисел, оно должно быть положительным целым числом ($n \in \mathbb{N}$). Следовательно, из двух полученных интервалов нам подходит только $n > 15$.

Наименьшее целое число, которое больше 15, это 16.

Для проверки можно вычислить суммы для $n=15$ и $n=16$:

• Если $n=15$, то $S_{15} = 15^2 + 6 \cdot 15 = 225 + 90 = 315$. Это не больше 315.
• Если $n=16$, то $S_{16} = 16^2 + 6 \cdot 16 = 256 + 96 = 352$. Это больше 315.

Таким образом, наименьшее требуемое количество чисел равно 16.

Ответ: 16