Страница 221, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Многогранное правило умножения.

Многогранное правило умножения, также известное как правило произведения в комбинаторике, является фундаментальным принципом для подсчета общего количества исходов некоторого составного действия. Оно гласит, что общее число способов выполнить последовательность действий равно произведению числа способов выполнения каждого отдельного действия.

Формулировка правила:
Пусть требуется выполнить последовательно $k$ действий. Если первое действие можно выполнить $n_1$ способами, после чего второе действие можно выполнить $n_2$ способами, затем третье — $n_3$ способами, и так далее до $k$-го действия, которое можно выполнить $n_k$ способами, то все $k$ действий вместе можно выполнить $N$ способами, где $N$ вычисляется по формуле:

$N = n_1 \times n_2 \times n_3 \times \dots \times n_k$

Это правило справедливо, когда количество способов выполнения каждого следующего действия не зависит от того, как именно были выполнены предыдущие действия.

Пример 1.
В меню кафе есть 4 вида супов, 7 вторых блюд и 3 вида напитков. Сколько различных вариантов обеда из трех блюд (суп, второе и напиток) можно заказать?

Решение.
Разобьем выбор обеда на три последовательных действия:
- Шаг 1: Выбор супа. Есть $n_1 = 4$ способа.
- Шаг 2: Выбор второго блюда. Есть $n_2 = 7$ способов.
- Шаг 3: Выбор напитка. Есть $n_3 = 3$ способа.
Общее количество вариантов обеда находим по правилу умножения:
$N = n_1 \times n_2 \times n_3 = 4 \times 7 \times 3 = 84$.
Ответ: 84 варианта.

Пример 2.
Сколько существует различных автомобильных номеров, состоящих из 3 букв и 3 цифр, если используются 12 букв русского алфавита (А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х) и 10 цифр (от 0 до 9)? Буквы и цифры могут повторяться.

Решение.
Формирование номера состоит из 6 последовательных действий (3 для букв и 3 для цифр):
- Выбор первой буквы: есть $n_1 = 12$ способов.
- Выбор второй буквы: есть $n_2 = 12$ способов (повторения разрешены).
- Выбор третьей буквы: есть $n_3 = 12$ способов.
- Выбор первой цифры: есть $n_4 = 10$ способов.
- Выбор второй цифры: есть $n_5 = 10$ способов.
- Выбор третьей цифры: есть $n_6 = 10$ способов.
Общее количество возможных номеров равно:
$N = n_1 \times n_2 \times n_3 \times n_4 \times n_5 \times n_6 = 12 \times 12 \times 12 \times 10 \times 10 \times 10 = 12^3 \times 10^3 = 1728 \times 1000 = 1728000$.
Ответ: 1 728 000 номеров.

2. Рисуем деревья вариантов.

Дерево вариантов — это графический способ представления всех возможных исходов какого-либо события, состоящего из нескольких шагов. Этот метод помогает наглядно увидеть и подсчитать общее количество комбинаций.

Корень дерева символизирует начало процесса. От корня отходят ветви, соответствующие возможным вариантам на первом шаге. От каждой из этих ветвей, в свою очередь, отходят новые ветви, представляющие варианты на втором шаге, и так далее. Конечные точки ветвей (листья) представляют собой все возможные итоговые комбинации.

Рассмотрим, как это работает на примерах.

а) В школьной столовой на обед можно выбрать одно из двух первых блюд (суп или борщ) и одно из трех вторых блюд (каша, плов или макароны). Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно составить?

Для решения этой задачи построим дерево вариантов.

1. Первый шаг — выбор первого блюда. У нас есть 2 варианта: суп или борщ. Это будут две основные ветви нашего дерева.
2. Второй шаг — выбор второго блюда. Для каждого из первых блюд есть 3 варианта второго. От каждой из двух основных ветвей проведем по три новые ветви.

Схематично дерево вариантов будет выглядеть так:

• Обед
  • Суп
    • Каша (вариант 1)
    • Плов (вариант 2)
    • Макароны (вариант 3)
  • Борщ
    • Каша (вариант 4)
    • Плов (вариант 5)
    • Макароны (вариант 6)

Посчитав количество "листьев" дерева (конечных вариантов), мы получим общее число возможных обедов. Также можно использовать правило умножения в комбинаторике: если первый элемент можно выбрать $n_1$ способами, а второй — $n_2$ способами, то общее число комбинаций равно $N = n_1 \times n_2$.

В нашем случае $n_1 = 2$ (вида первого блюда) и $n_2 = 3$ (вида второго блюда).

Общее количество вариантов: $2 \times 3 = 6$.

Ответ: 6 вариантов обеда.

б) Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 5, 8, 3 при условии, что цифры в числе не должны повторяться?

Построим дерево вариантов для этой задачи.

1. Первый шаг — выбор первой цифры числа. У нас есть 3 варианта: 5, 8 или 3.
2. Второй шаг — выбор второй цифры. Так как цифры не могут повторяться, для каждого варианта первой цифры у нас останется только два возможных варианта для второй. Например, если первая цифра 5, то вторая может быть 8 или 3.
3. Третий шаг — выбор третьей цифры. После выбора первых двух цифр у нас остается только одна неиспользованная цифра.

Изобразим это в виде дерева:

• Начало
  • Первая цифра 5
    • Вторая цифра 8
      • Третья цифра 3 (Число: 583)
    • Вторая цифра 3
      • Третья цифра 8 (Число: 538)
  • Первая цифра 8
    • Вторая цифра 5
      • Третья цифра 3 (Число: 853)
    • Вторая цифра 3
      • Третья цифра 5 (Число: 835)
  • Первая цифра 3
    • Вторая цифра 5
      • Третья цифра 8 (Число: 358)
    • Вторая цифра 8
      • Третья цифра 5 (Число: 385)

Подсчет количества конечных вариантов ("листьев") дает нам общее число возможных трехзначных чисел. Их 6.

По правилу умножения: на место первой цифры можно поставить любую из 3 цифр, на место второй — любую из 2 оставшихся, на место третьей — 1 оставшуюся цифру.

Количество комбинаций: $3 \times 2 \times 1 = 6$. Это также соответствует формуле перестановок без повторений из 3 элементов: $P_3 = 3! = 6$.

Ответ: 6 чисел.

3. Факториалы и их свойства. Уравнения и неравенства с факториалами.

Факториалы и их свойства

Факториал натурального числа $n$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно. Обозначается как $n!$.

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-1) \cdot n$

Факториал определен для всех целых неотрицательных чисел. По определению, факториал нуля равен единице:

$0! = 1$

Это соглашение позволяет упростить многие математические формулы, например, в комбинаторике. Оно также следует из рекуррентного свойства факториала.

Примеры значений:

• $1! = 1$
• $2! = 1 \cdot 2 = 2$
• $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
• $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
• $5! = 4! \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$

Основные свойства факториала:

1. Рекуррентное свойство. Это самое важное свойство, используемое для упрощения выражений. Факториал любого числа $n > 0$ можно выразить через факториал предыдущего числа:
   $n! = n \cdot (n-1)!$
   Например: $7! = 7 \cdot 6! = 7 \cdot 6 \cdot 5!$
2. Область определения. Выражение $n!$ определено только для целых неотрицательных чисел $n$ (т.е. $n \in \{0, 1, 2, 3, \dots\}$). Это ключевое условие при решении уравнений и неравенств.
3. Быстрый рост. Функция $y = n!$ растет очень быстро, быстрее любой показательной функции $a^n$.
4. Делимость. Число $n!$ делится без остатка на все целые числа от 1 до $n$.

Пример упрощения выражения:

Вычислить $\frac{12!}{10! \cdot 3!}$.
$\frac{12!}{10! \cdot 3!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{10! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{12 \cdot 11}{6} = 2 \cdot 11 = 22$.

Уравнения и неравенства с факториалами

Основной метод решения уравнений и неравенств с факториалами — это использование рекуррентного свойства $n! = n \cdot (n-1)!$ для упрощения выражений. Все факториалы в выражении приводятся к наименьшему из них. Важнейшим шагом является нахождение области допустимых значений (ОДЗ).

Пример 1: Уравнение

Решить уравнение $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} = 30$.

Решение:

1. Находим ОДЗ. Выражения под знаком факториала должны быть целыми и неотрицательными:
$x+1 \geq 0 \implies x \geq -1$
$x-1 \geq 0 \implies x \geq 1$
Так как $x$ должен быть целым, ОДЗ: $x \in \{1, 2, 3, \dots\}$.

2. Упрощаем левую часть. Используем рекуррентное свойство, чтобы привести числитель к знаменателю:
$(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1)!$
Подставляем в уравнение:
$\frac{(x+1) \cdot x \cdot (x-1)!}{(x-1)!} = 30$

3. Сокращаем и решаем. Так как $(x-1)! \neq 0$ в ОДЗ, можем сократить:
$(x+1)x = 30$
$x^2 + x - 30 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

4. Проверяем корни по ОДЗ.
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию $x \geq 1$.
$x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $x \geq 1$.

Ответ: $x = 5$

Пример 2: Неравенство

Решить неравенство $\frac{(m-2)!}{(m-4)!} \leq 12$.

Решение:

1. Находим ОДЗ.
$m-2 \geq 0 \implies m \geq 2$
$m-4 \geq 0 \implies m \geq 4$
Так как $m$ должен быть целым, ОДЗ: $m \in \{4, 5, 6, \dots\}$.

2. Упрощаем левую часть.
$(m-2)! = (m-2)(m-3)(m-4)!$
$\frac{(m-2)(m-3)(m-4)!}{(m-4)!} \leq 12$

3. Сокращаем и решаем.
$(m-2)(m-3) \leq 12$
$m^2 - 5m + 6 \leq 12$
$m^2 - 5m - 6 \leq 0$
Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $m^2 - 5m - 6 = 0$. Корни: $m_1 = 6$ и $m_2 = -1$.
Парабола $y = m^2 - 5m - 6$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-1 \leq m \leq 6$.

4. Объединяем с ОДЗ.
Нам нужны целые значения $m$, которые удовлетворяют двум условиям: $m \geq 4$ и $-1 \leq m \leq 6$.
Пересечением этих двух множеств являются целые числа $\{4, 5, 6\}$.

Ответ: $m \in \{4, 5, 6\}$

4. Классические вероятностные игры: бросания монеты, кубика.

Классические вероятностные игры являются прекрасными примерами для иллюстрации основ теории вероятностей. В их основе лежит так называемое классическое определение вероятности, которое применимо, когда все элементарные исходы эксперимента равновозможны. Вероятность события $A$ вычисляется по формуле:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число всех равновозможных, несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, а $m$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию $A$.

Бросание монеты

Бросание монеты — это простейший вероятностный эксперимент. Предполагается, что монета "идеальная" или "симметричная", что означает, что выпадение каждой из двух сторон равновероятно.

Один бросок:

При одном броске монеты есть два возможных элементарных исхода: выпадение орла (О) или решки (Р). Таким образом, общее число исходов $n=2$.

• Событие A: "выпал орёл". Число благоприятствующих исходов $m=1$. Вероятность этого события: $P(A) = \frac{1}{2} = 0.5$.
• Событие B: "выпала решка". Число благоприятствующих исходов $m=1$. Вероятность этого события: $P(B) = \frac{1}{2} = 0.5$.

Два броска:

При двух бросках монеты исходы одного броска не зависят от другого. Общее число всех возможных исходов можно найти, перечислив их все: (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р). Всего $n=4$ равновозможных исхода.

• Событие C: "выпало два орла". Благоприятствующий исход только один: (О, О). Значит, $m=1$. Вероятность: $P(C) = \frac{1}{4}$.
• Событие D: "выпал хотя бы один орёл". Благоприятствующие исходы: (О, О), (О, Р), (Р, О). Всего $m=3$. Вероятность: $P(D) = \frac{3}{4}$.
• Событие E: "выпал ровно один орёл". Благоприятствующие исходы: (О, Р), (Р, О). Всего $m=2$. Вероятность: $P(E) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Для $k$ бросков монеты общее число исходов будет $n=2^k$.

Ответ: При бросании идеальной монеты вероятность выпадения орла или решки равна $\frac{1}{2}$. При нескольких бросках общее число исходов равно $2^k$, где $k$ — количество бросков. Вероятность конкретного события находится как отношение числа благоприятных комбинаций к общему числу исходов.

Бросание кубика

Бросание игрального кубика (кости) — еще один классический пример. Стандартный кубик имеет 6 граней, пронумерованных от 1 до 6. Предполагается, что кубик "правильный", то есть выпадение любой грани равновероятно.

Один бросок:

При одном броске кубика существует 6 возможных элементарных исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Общее число исходов $n=6$.

• Событие F: "выпало число 4". Благоприятствующий исход один. Вероятность: $P(F) = \frac{1}{6}$.
• Событие G: "выпало чётное число". Благоприятствующие исходы: {2, 4, 6}. Всего $m=3$. Вероятность: $P(G) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• Событие H: "выпало число, большее 4". Благоприятствующие исходы: {5, 6}. Всего $m=2$. Вероятность: $P(H) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Два броска (или бросок двух кубиков):

Когда бросают два кубика, каждый из них может выпасть одной из шести граней независимо от другого. Общее число равновозможных элементарных исходов равно $n = 6 \times 6 = 36$. Исходы представляют собой упорядоченные пары чисел, например, (1, 1), (1, 2), ..., (6, 6).

• Событие J: "сумма выпавших очков равна 7". Благоприятствующие исходы: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Всего $m=6$. Вероятность: $P(J) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
• Событие K: "на обоих кубиках выпало одинаковое число очков (дубль)". Благоприятствующие исходы: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6). Всего $m=6$. Вероятность: $P(K) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
• Событие L: "сумма выпавших очков меньше 4". Благоприятствующие исходы: (1, 1) [сумма 2], (1, 2), (2, 1) [сумма 3]. Всего $m=3$. Вероятность: $P(L) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

Ответ: При бросании одного правильного кубика вероятность выпадения любой грани равна $\frac{1}{6}$. При бросании двух кубиков общее число исходов равно 36. Вероятность события вычисляется путем подсчета количества пар чисел, удовлетворяющих условию, и деления этого количества на 36.

Б. Геометрия и вероятность.

На изображении указан только заголовок раздела, а не конкретная задача для решения. "Геометрия и вероятность" — это область теории вероятностей, которая занимается задачами, где пространство элементарных исходов является некоторым геометрическим множеством (отрезок, область на плоскости, тело в пространстве), а вероятность события определяется как отношение геометрических мер (длины, площади, объема).

Основная формула для вычисления геометрической вероятности события $A$:
$P(A) = \frac{\text{мера}(g)}{\text{мера}(G)}$
где $G$ — это геометрическое множество всех возможных исходов, а $g$ — подмножество $G$, соответствующее благоприятным исходам.

Поскольку конкретная задача отсутствует, ниже для примера будет решена типовая задача из этого раздела.

Задача: В квадрат со стороной 8 см наудачу бросают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в квадрат круга?

Решение:

1. Найдем меру всего пространства элементарных исходов. В данном случае это площадь квадрата ($S_{кв}$). Сторона квадрата $a = 8$ см.
$S_{кв} = a^2 = 8^2 = 64$ см$^2$.

2. Найдем меру множества благоприятных исходов. Благоприятный исход — это попадание точки внутрь вписанного круга. Мерой этого множества является площадь круга ($S_{кр}$).
Радиус круга, вписанного в квадрат, равен половине его стороны:
$r = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Площадь круга вычисляется по формуле:
$S_{кр} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см$^2$.

3. Вычислим искомую вероятность. Она равна отношению площади круга (благоприятные исходы) к площади квадрата (все возможные исходы).
$P = \frac{S_{кр}}{S_{кв}} = \frac{16\pi}{64} = \frac{\pi}{4}$.
Обратите внимание, что результат не зависит от длины стороны квадрата.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

6. Статистика в нашем классе: рост, вес, на какой день недели приходится день рождения, среднее значение оценок по предмету и т. п.

Это задание представляет собой практическую работу по сбору и анализу статистических данных в классе. Чтобы его выполнить, нужно собрать реальные данные с одноклассников. Ниже приведен пример того, как можно провести такой анализ, используя гипотетические данные для класса из 10 человек.

Рост

1. Сбор данных:
Необходимо измерить рост каждого ученика в сантиметрах и записать результаты в таблицу. Допустим, мы получили следующие данные:

2. Анализ данных:
На основе собранных данных можно рассчитать несколько статистических показателей:

• Среднее арифметическое (средний рост): Сумма всех значений, деленная на их количество. Формула: $ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $
  Расчет: $ \frac{165+175+172+160+180+170+163+168+178+169}{10} = \frac{1700}{10} = 170 $ см.
• Размах: Разница между максимальным и минимальным значением.
  Расчет: $ 180 - 160 = 20 $ см.
• Медиана: Значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Сначала упорядочим ряд: 160, 163, 165, 168, 169, 170, 172, 175, 178, 180. Так как у нас четное число (10) учеников, медиана равна среднему двух центральных значений.
  Расчет: $ \frac{169 + 170}{2} = 169.5 $ см.
• Мода: Наиболее часто встречающееся значение. В данном наборе данных все значения уникальны, поэтому моды нет.

Ответ: На основе гипотетических данных, средний рост в классе составляет 170 см, размах — 20 см, медианный рост — 169.5 см.

Вес

1. Сбор данных:
Аналогично росту, нужно узнать вес каждого ученика в килограммах. Предположим, мы получили следующие данные:

2. Анализ данных:

• Среднее арифметическое (средний вес):
  Расчет: $ \frac{55+68+65+52+75+62+54+60+70+61}{10} = \frac{622}{10} = 62.2 $ кг.
• Размах:
  Расчет: $ 75 - 52 = 23 $ кг.
• Медиана: Упорядоченный ряд: 52, 54, 55, 60, 61, 62, 65, 68, 70, 75.
  Расчет: $ \frac{61 + 62}{2} = 61.5 $ кг.
• Мода: Моды нет, так как все значения уникальны.

Ответ: Средний вес в классе — 62.2 кг, размах — 23 кг, медианный вес — 61.5 кг.

На какой день недели приходится день рождения

1. Сбор данных:
Это качественные (категориальные) данные. Нужно опросить каждого ученика и составить частотную таблицу.

2. Анализ данных:
Для качественных данных нельзя рассчитать среднее или медиану. Основной показатель — это мода.

• Мода: Самый популярный день недели для дня рождения в классе. В нашем примере это среда, так как в этот день родились 3 ученика.

Эти данные удобно представлять в виде столбчатой или круговой диаграммы, чтобы наглядно показать распределение.

Ответ: Модой для дней рождения в данном классе является среда.

Среднее значение оценок по предмету

1. Сбор данных:
Возьмем итоговые оценки учеников по математике. Это количественные дискретные данные.

2. Анализ данных:

• Среднее арифметическое (средний балл):
  Расчет: $ \frac{5+4+4+3+5+4+4+5+3+4}{10} = \frac{41}{10} = 4.1 $.
• Размах:
  Расчет: $ 5 - 3 = 2 $.
• Медиана: Упорядоченный ряд: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5. Центральные значения — 4 и 4.
  Расчет: $ \frac{4+4}{2} = 4 $.
• Мода: Наиболее частая оценка. Оценка "4" встречается 5 раз.
  Мода = 4.

Ответ: Средний балл по математике в классе — 4.1. Самая распространенная оценка (мода) — 4, а медианная оценка также равна 4.