Страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

517. a) Какой поворот называют полным оборотом?

б) Какой угол называют нулевым? положительным? отрицательным?

а) Полным оборотом называют поворот, при котором вращаемый объект, например, луч на плоскости, возвращается в свое исходное положение, описав полную окружность. Величина угла, соответствующего полному обороту, составляет $360$ градусов (обозначается как $360^\circ$) или $2\pi$ радиан. Такой поворот означает, что конечная сторона угла совпадает с его начальной стороной после совершения одного полного вращения.

Ответ: Полным оборотом называют поворот на угол $360^\circ$ или $2\pi$ радиан.

б) В геометрии и тригонометрии углы могут иметь знак, который зависит от направления вращения, а также могут быть равны нулю. Эти понятия обычно определяются через поворот луча вокруг его начальной точки.

Нулевым углом называют угол, который образуется при отсутствии вращения. В этом случае начальная и конечная стороны угла совпадают без совершения какого-либо поворота. Величина такого угла равна $0^\circ$ (или $0$ радиан).

Положительным углом называют угол, который получается при вращении его подвижной стороны (луча) из начального положения против хода часовой стрелки. Величина такого угла считается положительной, например, $+45^\circ$, $+180^\circ$.

Отрицательным углом называют угол, который получается при вращении его подвижной стороны (луча) из начального положения по ходу часовой стрелки. Величина такого угла считается отрицательной, например, $-45^\circ$, $-180^\circ$.

Ответ: Нулевым называют угол с величиной $0^\circ$. Положительным называют угол, образованный вращением против часовой стрелки. Отрицательным называют угол, образованный вращением по часовой стрелке.

518. На рисунке 65 изображён угол $AOB$, полученный поворотом подвижного вектора от вектора $\vec{OA}$ до вектора $\vec{OB}$. Сколько полных оборотов содержит угол $AOB$?

а) б)

в) г)

д) е)

Рис. 65

Полный оборот соответствует углу в $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Чтобы найти количество полных оборотов, нужно определить общий угол поворота от вектора $\vec{OA}$ до вектора $\vec{OB}$ и разделить его на $360^\circ$, взяв целую часть от результата. Направление поворота показано стрелкой, а количество витков спирали указывает на число совершенных полных оборотов.

а) Вектор поворачивается от положительной полуоси $Ox$ к положительной полуоси $Oy$ против часовой стрелки. Угол поворота составляет $90^\circ$. Так как $90^\circ < 360^\circ$, полный оборот не совершается.
Ответ: 0

б) Вектор поворачивается от положительной полуоси $Ox$ к отрицательной полуоси $Ox$ против часовой стрелки. Угол поворота составляет $180^\circ$. Так как $180^\circ < 360^\circ$, полный оборот не совершается.
Ответ: 0

в) Вектор поворачивается от положительной полуоси $Ox$ к отрицательной полуоси $Oy$ по часовой стрелке. Величина угла поворота составляет $90^\circ$. Так как $90^\circ < 360^\circ$, полный оборот не совершается.
Ответ: 0

г) Вектор поворачивается от положительной полуоси $Ox$ и возвращается в то же положение, совершив один виток спирали против часовой стрелки. Угол поворота равен $360^\circ$. Это ровно один полный оборот.
Ответ: 1

д) Вектор поворачивается по часовой стрелке. Спираль показывает, что сначала был совершен один полный оборот ($360^\circ$), а затем дополнительный поворот от положительной полуоси $Ox$ к отрицательной полуоси $Oy$ ($90^\circ$). Суммарный угол поворота по модулю равен $360^\circ + 90^\circ = 450^\circ$. Количество полных оборотов равно целой части от деления $450^\circ$ на $360^\circ$: $\lfloor \frac{450}{360} \rfloor = 1$.
Ответ: 1

е) Вектор поворачивается по часовой стрелке. Спираль показывает, что сначала были совершены два полных оборота ($2 \cdot 360^\circ = 720^\circ$), а затем дополнительный поворот от положительной полуоси $Ox$ к отрицательной полуоси $Oy$ ($90^\circ$). Суммарный угол поворота по модулю равен $720^\circ + 90^\circ = 810^\circ$. Количество полных оборотов равно целой части от деления $810^\circ$ на $360^\circ$: $\lfloor \frac{810}{360} \rfloor = 2$.
Ответ: 2