Страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

520. а) Что такое угол в один градус? Сколько градусов содержит полный оборот?

б) Для любого ли числа $a$ существует угол, градусная мера которого равна $a$?

С помощью транспортира изобразите на координатной плоскости угол $AOB$, полученный поворотом подвижного вектора от вектора $\overrightarrow{OA}$ до вектора $\overrightarrow{OB}$ на угол, градусная мера которого равна (521–522):

а)

Угол в один градус (обозначается как $1^\circ$) — это угол, который равен $\frac{1}{360}$ части полного оборота. Если представить полный оборот как вращение луча вокруг своей начальной точки до возвращения в исходное положение, то один градус соответствует повороту на $\frac{1}{360}$ этого полного вращения.

Соответственно, полный оборот содержит $360$ градусов ($360^\circ$).

Ответ: Угол в один градус — это $\frac{1}{360}$ часть полного оборота. Полный оборот содержит $360$ градусов.

б)

Да, для любого действительного числа a существует угол, градусная мера которого равна a. Это следует из понятия угла как меры поворота. Угол поворота может быть положительным (если поворот совершается против часовой стрелки), отрицательным (если поворот совершается по часовой стрелке) или нулевым. Величина угла не ограничена одним оборотом ($360^\circ$) и может быть сколь угодно большой по абсолютному значению.

Например, угол в $450^\circ$ означает, что луч совершил один полный оборот ($360^\circ$) и еще повернулся на $90^\circ$ против часовой стрелки ($450^\circ = 360^\circ + 90^\circ$). Угол в $-750^\circ$ означает поворот по часовой стрелке на два полных оборота ($-720^\circ$) и еще на $30^\circ$ в том же направлении ($-750^\circ = -2 \cdot 360^\circ - 30^\circ$). Таким образом, градусная мера угла поворота может быть любым действительным числом (целым, дробным, положительным, отрицательным или нулем).

Ответ: Да, для любого числа a существует такой угол.

521. а) $60^\circ$;

б) $120^\circ$;

в) $200^\circ$;

г) $245^\circ$;

д) $270^\circ$;

е) $300^\circ$;

ж) $380^\circ$;

з) $420^\circ$.

Чтобы выразить угол в радианах, необходимо его градусную меру умножить на $ \frac{\pi}{180^{\circ}} $. Формула для перевода из градусов в радианы выглядит так:

$ \text{радианы} = \text{градусы} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} $

а) 60°

Чтобы перевести 60° в радианы, умножаем 60 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 60^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3} $

Ответ: $ \frac{\pi}{3} $

б) 120°

Чтобы перевести 120° в радианы, умножаем 120 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 120^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} $

Ответ: $ \frac{2\pi}{3} $

в) 200°

Чтобы перевести 200° в радианы, умножаем 200 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 200^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{200\pi}{180} = \frac{10\pi}{9} $

Ответ: $ \frac{10\pi}{9} $

г) 245°

Чтобы перевести 245° в радианы, умножаем 245 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 245^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{245\pi}{180} = \frac{49\pi}{36} $ (сократили на 5)

Ответ: $ \frac{49\pi}{36} $

д) 270°

Чтобы перевести 270° в радианы, умножаем 270 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 270^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2} $

Ответ: $ \frac{3\pi}{2} $

е) 300°

Чтобы перевести 300° в радианы, умножаем 300 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 300^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{300\pi}{180} = \frac{5\pi}{3} $

Ответ: $ \frac{5\pi}{3} $

ж) 380°

Чтобы перевести 380° в радианы, умножаем 380 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 380^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{380\pi}{180} = \frac{19\pi}{9} $

Ответ: $ \frac{19\pi}{9} $

з) 420°

Чтобы перевести 420° в радианы, умножаем 420 на $ \frac{\pi}{180} $:

$ 420^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{420\pi}{180} = \frac{7\pi}{3} $

Ответ: $ \frac{7\pi}{3} $

522. а) $-45^{\circ}$;

б) $-30^{\circ}$;

в) $-120^{\circ}$;

г) $-160^{\circ}$;

д) $-270^{\circ}$;

е) $-300^{\circ}$;

ж) $-500^{\circ}$;

з) $-1000^{\circ}$.

Для того чтобы перевести величину угла из градусов в радианы, необходимо умножить значение угла в градусах на $\frac{\pi}{180}$.

а) $-45^\circ$

Переводим угол $-45^\circ$ в радианную меру:

$-45 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{45\pi}{180}$

Сокращаем полученную дробь на 45:

$-\frac{45\pi : 45}{180 : 45} = -\frac{\pi}{4}$

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

б) $-30^\circ$

Переводим угол $-30^\circ$ в радианную меру:

$-30 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{30\pi}{180}$

Сокращаем дробь на 30:

$-\frac{30\pi : 30}{180 : 30} = -\frac{\pi}{6}$

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

в) $-120^\circ$

Переводим угол $-120^\circ$ в радианную меру:

$-120 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{120\pi}{180}$

Сокращаем дробь на 60:

$-\frac{120\pi : 60}{180 : 60} = -\frac{2\pi}{3}$

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$

г) $-160^\circ$

Переводим угол $-160^\circ$ в радианную меру:

$-160 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{160\pi}{180}$

Сокращаем дробь на 20:

$-\frac{160\pi : 20}{180 : 20} = -\frac{8\pi}{9}$

Ответ: $-\frac{8\pi}{9}$

д) $-270^\circ$

Переводим угол $-270^\circ$ в радианную меру:

$-270 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{270\pi}{180}$

Сокращаем дробь на 90:

$-\frac{270\pi : 90}{180 : 90} = -\frac{3\pi}{2}$

Ответ: $-\frac{3\pi}{2}$

е) $-300^\circ$

Переводим угол $-300^\circ$ в радианную меру:

$-300 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{300\pi}{180}$

Сокращаем дробь на 60:

$-\frac{300\pi : 60}{180 : 60} = -\frac{5\pi}{3}$

Ответ: $-\frac{5\pi}{3}$

ж) $-500^\circ$

Переводим угол $-500^\circ$ в радианную меру:

$-500 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{500\pi}{180}$

Сокращаем дробь на 20:

$-\frac{500\pi : 20}{180 : 20} = -\frac{25\pi}{9}$

Ответ: $-\frac{25\pi}{9}$

з) $-1000^\circ$

Переводим угол $-1000^\circ$ в радианную меру:

$-1000 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{1000\pi}{180}$

Сокращаем дробь на 20:

$-\frac{1000\pi : 20}{180 : 20} = -\frac{50\pi}{9}$

Ответ: $-\frac{50\pi}{9}$

523. Запишите градусную меру угла $AOB$, изображённого на рисунке 69.

а) б)

в) г)

Рис. 69

а) б) $45^\circ$

в) $60^\circ$

г) $30^\circ$

Рис. 70

а) В данном случае угол AOB образован поворотом от начального луча OA, совпадающего с положительным направлением оси абсцисс, до конечного луча OB, совпадающего с отрицательным направлением оси ординат. Стрелка показывает, что поворот осуществляется по часовой стрелке. Движение по часовой стрелке считается отрицательным направлением отсчета углов. Поворот составляет одну четверть полного круга, то есть $90^\circ$. Таким образом, градусная мера угла равна $-90^\circ$.

Ответ: $-90^\circ$.

б) Начальное и конечное положения лучей такие же, как в пункте а), и поворот также осуществляется по часовой стрелке. Однако стрелка показывает, что перед тем, как остановиться в положении OB, был совершен один полный оборот. Полный оборот по часовой стрелке составляет $-360^\circ$. К этому значению нужно добавить угол поворота от OA до OB, который, как мы выяснили, равен $-90^\circ$. Следовательно, общая градусная мера угла составляет: $ -360^\circ + (-90^\circ) = -450^\circ$.

Ответ: $-450^\circ$.

в) Начальный луч OA совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а конечный луч OB — с положительным направлением оси ординат. Стрелка показывает, что поворот осуществляется против часовой стрелки. Движение против часовой стрелки считается положительным направлением отсчета углов. Поворот составляет одну четверть полного круга, то есть $90^\circ$. Таким образом, градусная мера угла равна $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

г) Начальное и конечное положения лучей такие же, как в пункте в), и поворот также осуществляется против часовой стрелки. Стрелка показывает, что перед тем, как остановиться в положении OB, было совершено два полных оборота. Один полный оборот против часовой стрелки составляет $360^\circ$. Два полных оборота составляют $2 \times 360^\circ = 720^\circ$. К этому значению нужно добавить угол поворота от OA до OB, который равен $90^\circ$. Следовательно, общая градусная мера угла составляет: $720^\circ + 90^\circ = 810^\circ$.

Ответ: $810^\circ$.