Страница 158 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

531. a) Что такое угол в 1 радиан?

б) Сколько радиан содержит полный оборот? половина полного оборота? четверть полного оборота?

а) Угол в 1 радиан — это такой центральный угол в окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности. Если радиус окружности равен $r$, то дуга, стягиваемая центральным углом в 1 радиан, также имеет длину $r$. Радианная мера является безразмерной величиной, так как представляет собой отношение двух длин (длины дуги к радиусу). Связь между радианной и градусной мерой угла выражается формулой: $2\pi \text{ радиан} = 360^\circ$, или $\pi \text{ радиан} = 180^\circ$. Отсюда следует, что $1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ$.
Ответ: Угол в 1 радиан — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

б) Для нахождения радианной меры угла используется формула $\alpha = \frac{l}{r}$, где $l$ — длина дуги, а $r$ — радиус окружности.
Полный оборот: соответствует углу в $360^\circ$. Длина дуги при полном обороте равна длине всей окружности, то есть $l = 2\pi r$. Таким образом, радианная мера полного оборота составляет $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$ радиан.
Половина полного оборота: соответствует углу в $180^\circ$. Это половина от полного оборота, значит, в радианах это будет $\frac{2\pi}{2} = \pi$ радиан.
Четверть полного оборота: соответствует углу в $90^\circ$. Это четверть от полного оборота, что в радианах составляет $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ радиан.
Ответ: Полный оборот содержит $2\pi$ радиан, половина полного оборота — $\pi$ радиан, четверть полного оборота — $\frac{\pi}{2}$ радиан.

532. Выразите в радианах величину угла, градусная мера которого равна:

а) $360^\circ$; $180^\circ$; $90^\circ$; $270^\circ$; $0^\circ$;

б) $45^\circ$; $135^\circ$; $225^\circ$; $315^\circ$;

в) $60^\circ$; $120^\circ$; $240^\circ$; $300^\circ$;

г) $30^\circ$; $150^\circ$; $210^\circ$; $330^\circ$;

д) $-45^\circ$; $-90^\circ$; $-135^\circ$; $-180^\circ$;

е) $-270^\circ$; $-360^\circ$; $-1800^\circ$.

Для перевода величины угла из градусов в радианы используется формула, основанная на том, что развернутый угол равен $180^{\circ}$ или $\pi$ радиан. Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить количество градусов на $\frac{\pi}{180^{\circ}}$:

$ \alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}} $

Применим эту формулу для каждого из заданных углов.

$ 360^{\circ} = 360 \cdot \frac{\pi}{180} = 2\pi $

$ 180^{\circ} = 180 \cdot \frac{\pi}{180} = \pi $

$ 90^{\circ} = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} $

$ 270^{\circ} = 270 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3 \cdot 90}{2 \cdot 90}\pi = \frac{3\pi}{2} $

$ 0^{\circ} = 0 \cdot \frac{\pi}{180} = 0 $

Ответ: $ 2\pi; \pi; \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}; 0 $.

$ 45^{\circ} = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} $

$ 135^{\circ} = 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{3 \cdot 45}{4 \cdot 45}\pi = \frac{3\pi}{4} $

$ 225^{\circ} = 225 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5 \cdot 45}{4 \cdot 45}\pi = \frac{5\pi}{4} $

$ 315^{\circ} = 315 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7 \cdot 45}{4 \cdot 45}\pi = \frac{7\pi}{4} $

Ответ: $ \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} $.

$ 60^{\circ} = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} $

$ 120^{\circ} = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2 \cdot 60}{3 \cdot 60}\pi = \frac{2\pi}{3} $

$ 240^{\circ} = 240 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{4 \cdot 60}{3 \cdot 60}\pi = \frac{4\pi}{3} $

$ 300^{\circ} = 300 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5 \cdot 60}{3 \cdot 60}\pi = \frac{5\pi}{3} $

Ответ: $ \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} $.

$ 30^{\circ} = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6} $

$ 150^{\circ} = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5 \cdot 30}{6 \cdot 30}\pi = \frac{5\pi}{6} $

$ 210^{\circ} = 210 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7 \cdot 30}{6 \cdot 30}\pi = \frac{7\pi}{6} $

$ 330^{\circ} = 330 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{11 \cdot 30}{6 \cdot 30}\pi = \frac{11\pi}{6} $

Ответ: $ \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}; \frac{11\pi}{6} $.

$ -45^{\circ} = -45 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{4} $

$ -90^{\circ} = -90 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{\pi}{2} $

$ -135^{\circ} = -135 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{3 \cdot 45}{4 \cdot 45}\pi = -\frac{3\pi}{4} $

$ -180^{\circ} = -180 \cdot \frac{\pi}{180} = -\pi $

Ответ: $ -\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi}{2}; -\frac{3\pi}{4}; -\pi $.

$ -270^{\circ} = -270 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{3 \cdot 90}{2 \cdot 90}\pi = -\frac{3\pi}{2} $

$ -360^{\circ} = -360 \cdot \frac{\pi}{180} = -2\pi $

$ -1800^{\circ} = -1800 \cdot \frac{\pi}{180} = -10\pi $

Ответ: $ -\frac{3\pi}{2}; -2\pi; -10\pi $.

533. Выразите в градусах величину угла, радианная мера которого равна:

а) $2\pi$; $\pi$; $\frac{\pi}{2}$; $\frac{3\pi}{2}$; $0$;

б) $\frac{\pi}{4}$; $\frac{3\pi}{4}$; $\frac{5\pi}{4}$; $\frac{7\pi}{4}$;

в) $\frac{\pi}{3}$; $\frac{2\pi}{3}$; $\frac{4\pi}{3}$; $\frac{5\pi}{3}$;

г) $\frac{\pi}{6}$; $\frac{5\pi}{6}$; $\frac{7\pi}{6}$; $\frac{11\pi}{6}$;

д) $-\frac{\pi}{2}$; $-\frac{\pi}{12}$; $-\frac{3\pi}{4}$; $-\frac{5\pi}{6}$;

е) $-\frac{\pi}{4}$; $-\frac{3\pi}{5}$; $-\frac{\pi}{6}$; $-\frac{7\pi}{6}$.

Для перевода радианной меры угла в градусную используется формула, основанная на соотношении, что $\pi$ радиан равно $180^\circ$. Чтобы перевести угол из радиан в градусы, нужно умножить его значение в радианах на $\frac{180^\circ}{\pi}$.

Формула перевода: $ \alpha_{градусы} = \alpha_{радианы} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} $.

а)

$2\pi \text{ рад} = 2\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

$\pi \text{ рад} = \pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 180^\circ$

$\frac{\pi}{2} \text{ рад} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

$\frac{3\pi}{2} \text{ рад} = \frac{3\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{2} = 3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$

$0 \text{ рад} = 0 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 0^\circ$

Ответ: $360^\circ$; $180^\circ$; $90^\circ$; $270^\circ$; $0^\circ$.

б)

$\frac{\pi}{4} \text{ рад} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$

$\frac{3\pi}{4} \text{ рад} = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 3 \cdot \frac{180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

$\frac{5\pi}{4} \text{ рад} = \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot \frac{180^\circ}{4} = 5 \cdot 45^\circ = 225^\circ$

$\frac{7\pi}{4} \text{ рад} = \frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \cdot \frac{180^\circ}{4} = 7 \cdot 45^\circ = 315^\circ$

Ответ: $45^\circ$; $135^\circ$; $225^\circ$; $315^\circ$.

в)

$\frac{\pi}{3} \text{ рад} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

$\frac{2\pi}{3} \text{ рад} = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 2 \cdot \frac{180^\circ}{3} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

$\frac{4\pi}{3} \text{ рад} = \frac{4\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 4 \cdot \frac{180^\circ}{3} = 4 \cdot 60^\circ = 240^\circ$

$\frac{5\pi}{3} \text{ рад} = \frac{5\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot \frac{180^\circ}{3} = 5 \cdot 60^\circ = 300^\circ$

Ответ: $60^\circ$; $120^\circ$; $240^\circ$; $300^\circ$.

г)

$\frac{\pi}{6} \text{ рад} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$

$\frac{5\pi}{6} \text{ рад} = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 5 \cdot \frac{180^\circ}{6} = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

$\frac{7\pi}{6} \text{ рад} = \frac{7\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 7 \cdot \frac{180^\circ}{6} = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$

$\frac{11\pi}{6} \text{ рад} = \frac{11\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 11 \cdot \frac{180^\circ}{6} = 11 \cdot 30^\circ = 330^\circ$

Ответ: $30^\circ$; $150^\circ$; $210^\circ$; $330^\circ$.

д)

$-\frac{\pi}{2} \text{ рад} = -\frac{\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{2} = -90^\circ$

$-\frac{\pi}{12} \text{ рад} = -\frac{\pi}{12} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{12} = -15^\circ$

$-\frac{3\pi}{4} \text{ рад} = -\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -3 \cdot \frac{180^\circ}{4} = -3 \cdot 45^\circ = -135^\circ$

$-\frac{5\pi}{6} \text{ рад} = -\frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -5 \cdot \frac{180^\circ}{6} = -5 \cdot 30^\circ = -150^\circ$

Ответ: $-90^\circ$; $-15^\circ$; $-135^\circ$; $-150^\circ$.

е)

$-\frac{\pi}{4} \text{ рад} = -\frac{\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{4} = -45^\circ$

$-\frac{3\pi}{5} \text{ рад} = -\frac{3\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -3 \cdot \frac{180^\circ}{5} = -3 \cdot 36^\circ = -108^\circ$

$-\frac{\pi}{6} \text{ рад} = -\frac{\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -\frac{180^\circ}{6} = -30^\circ$

$-\frac{7\pi}{6} \text{ рад} = -\frac{7\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -7 \cdot \frac{180^\circ}{6} = -7 \cdot 30^\circ = -210^\circ$

Ответ: $-45^\circ$; $-108^\circ$; $-30^\circ$; $-210^\circ$.

534. Считая, что $\pi \approx 3,14159$, определите приблизительно с недостатком с точностью до 0,01 радианную меру:

а) полного оборота;

б) половины полного оборота;

в) четверти полного оборота.

Для решения задачи воспользуемся определением радианной меры угла и данным приближенным значением числа $\pi$. Полный оборот соответствует углу в $2\pi$ радиан. Приближение "с недостатком с точностью до 0,01" означает, что мы должны найти число, меньшее или равное искомому, с двумя знаками после запятой. Фактически, это означает, что нужно отбросить все цифры после сотой доли, не выполняя округление по математическим правилам.

Используем значение $\pi \approx 3,14159$.

а) полного оборота

Радианная мера полного оборота равна $2\pi$.

Вычислим приближенное значение: $2\pi \approx 2 \times 3,14159 = 6,28318$.

Определим приближенное значение с недостатком с точностью до 0,01. Для этого оставим только две цифры после запятой, отбросив остальные:

$6,28318 \approx 6,28$.

Ответ: $6,28$ радиан.

б) половины полного оборота

Радианная мера половины полного оборота равна $\frac{2\pi}{2} = \pi$.

Используем данное приближенное значение: $\pi \approx 3,14159$.

Определим приближенное значение с недостатком с точностью до 0,01, отбросив все цифры после второго знака после запятой:

$3,14159 \approx 3,14$.

Ответ: $3,14$ радиан.

в) четверти полного оборота

Радианная мера четверти полного оборота равна $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Вычислим приближенное значение: $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14159}{2} = 1,570795$.

Определим приближенное значение с недостатком с точностью до 0,01, отбросив все цифры после второго знака после запятой:

$1,570795 \approx 1,57$.

Ответ: $1,57$ радиан.

535. Известно, что $1 \text{ рад} \approx 57^\circ$. Изобразите на глаз угол в 1; 2; 3; 4; 5; 6 радиан. Проверьте свой глазомер, измерив построенные углы с помощью транспортира.

Для решения этой задачи мы сначала вычислим приближенное значение каждого угла в градусах, используя данное в условии соотношение $1 \text{ рад} \approx 57^\circ$. Затем, основываясь на этих значениях, мы опишем, как можно изобразить каждый угол "на глаз", сравнивая его с основными углами, такими как $90^\circ$ (прямой), $180^\circ$ (развернутый) и $360^\circ$ (полный). В конце каждого пункта будет дан ответ и рекомендация по проверке с помощью транспортира, как и требуется в задании.

1 радиан

По определению из условия, $1 \text{ радиан} \approx 57^\circ$.

Это острый угол. Для сравнения, прямой угол равен $90^\circ$. Угол в $57^\circ$ составляет чуть больше половины прямого угла ($90^\circ / 2 = 45^\circ$) или примерно две трети от него. Чтобы изобразить его, можно нарисовать горизонтальный луч, а затем из его начала провести второй луч вверх и влево, так, чтобы получившийся угол был заметно больше $45^\circ$, но меньше $90^\circ$. После изображения угла следует проверить его величину с помощью транспортира.

Ответ: Угол в 1 радиан приблизительно равен $57^\circ$. Это острый угол.

2 радиана

Вычислим градусную меру: $2 \text{ рад} \approx 2 \times 57^\circ = 114^\circ$.

Это тупой угол, так как он больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Он больше прямого угла на $114^\circ - 90^\circ = 24^\circ$. Для его построения можно нарисовать прямой угол и добавить к нему еще один угол, равный примерно $24^\circ$ (это около четверти прямого угла). После построения измерьте угол транспортиром для проверки.

Ответ: Угол в 2 радиана приблизительно равен $114^\circ$. Это тупой угол.

3 радиана

Вычислим градусную меру: $3 \text{ рад} \approx 3 \times 57^\circ = 171^\circ$.

Это тупой угол, который очень близок к развернутому углу ($180^\circ$). Разница составляет всего $180^\circ - 171^\circ = 9^\circ$. Чтобы изобразить такой угол, нужно нарисовать лучи, составляющие почти прямую линию, но с небольшим отклонением вверх или вниз. Проверьте результат с помощью транспортира.

Ответ: Угол в 3 радиана приблизительно равен $171^\circ$. Это тупой угол, близкий к развернутому.

4 радиана

Вычислим градусную меру: $4 \text{ рад} \approx 4 \times 57^\circ = 228^\circ$.

Этот угол больше $180^\circ$, он называется рефлексным или углом больше развернутого. Он превышает развернутый угол на $228^\circ - 180^\circ = 48^\circ$. Для построения нарисуйте горизонтальную линию (это $180^\circ$) и от одного из ее концов отложите дополнительный угол примерно в $48^\circ$ (чуть больше половины прямого угла). Дугой обозначьте весь угол от начальной стороны до конечной. Для проверки транспортиром можно измерить оставшуюся часть до полного круга: $360^\circ - 228^\circ = 132^\circ$.

Ответ: Угол в 4 радиана приблизительно равен $228^\circ$. Это угол больше развернутого.

5 радиан

Вычислим градусную меру: $5 \text{ рад} \approx 5 \times 57^\circ = 285^\circ$.

Это также угол больше развернутого. Он больше $270^\circ$ (три прямых угла) на $285^\circ - 270^\circ = 15^\circ$. Чтобы его изобразить, можно мысленно разделить плоскость на четыре четверти и нарисовать угол, занимающий три четверти и еще небольшой "кусочек" в $15^\circ$ в четвертой четверти. Для проверки транспортиром удобнее измерить угол, дополняющий его до $360^\circ$: $360^\circ - 285^\circ = 75^\circ$.

Ответ: Угол в 5 радиан приблизительно равен $285^\circ$. Это угол больше развернутого.

6 радиан

Вычислим градусную меру: $6 \text{ рад} \approx 6 \times 57^\circ = 342^\circ$.

Этот угол очень близок к полному углу в $360^\circ$. Он меньше полного угла всего на $360^\circ - 342^\circ = 18^\circ$. Чтобы его изобразить, нарисуйте почти полный оборот, оставив маленький сектор, соответствующий углу примерно в $18^\circ$. Проверку транспортиром можно выполнить, измерив этот оставшийся малый угол.

Ответ: Угол в 6 радиан приблизительно равен $342^\circ$. Это угол, близкий к полному.

536. Какой угол больше:

а) в 3 радиана или в $\pi$ радиан;

б) в 6 радиан или в $2\pi$ радиан?

а) Чтобы сравнить угол в 3 радиана и угол в π радиан, необходимо сравнить их числовые значения: 3 и π. Число π является иррациональной константой, его приближенное значение $π \approx 3,14159...$

Поскольку $3 < 3,14159...$, можно сделать вывод, что $3 < \pi$.

Следовательно, угол в π радиан больше, чем угол в 3 радиана.

Ответ: угол в π радиан.

б) Чтобы сравнить угол в 6 радиан и угол в 2π радиан, необходимо сравнить их числовые значения: 6 и 2π. Для этого найдем приближенное значение 2π, используя $π \approx 3,14159...$

Вычисляем: $2\pi \approx 2 \cdot 3,14159... = 6,28318...$

Поскольку $6 < 6,28318...$, можно сделать вывод, что $6 < 2\pi$.

Следовательно, угол в 2π радиан больше, чем угол в 6 радиан.

Ответ: угол в 2π радиан.

537. Сколько полных оборотов и в каком направлении содержит угол, радианная мера которого равна:

a) $4\pi$; $-6\pi$; $12\pi$; $-7\pi$;

б) $-0,5\pi$; $3\frac{1}{3}\pi$; $-13,2\pi$; $21,7\pi$?

Чтобы определить количество полных оборотов и направление вращения для угла, заданного в радианах, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направление вращения по знаку угла:
   • Если угол положительный ($> 0$), вращение происходит против часовой стрелки.
   • Если угол отрицательный ($< 0$), вращение происходит по часовой стрелке.
2. Найти количество полных оборотов. Один полный оборот равен $2\pi$ радиан. Для этого нужно разделить модуль (абсолютное значение) угла на $2\pi$ и взять целую часть от результата. Формула: $N = \lfloor \frac{|\alpha|}{2\pi} \rfloor$, где $\alpha$ — заданный угол, а $N$ — число полных оборотов.

Для угла $4\pi$:
Направление: угол положительный, значит, вращение против часовой стрелки.
Количество полных оборотов: $\frac{|4\pi|}{2\pi} = \frac{4\pi}{2\pi} = 2$.
Ответ: 2 полных оборота против часовой стрелки.

Для угла $-6\pi$:
Направление: угол отрицательный, значит, вращение по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\frac{|-6\pi|}{2\pi} = \frac{6\pi}{2\pi} = 3$.
Ответ: 3 полных оборота по часовой стрелке.

Для угла $12\pi$:
Направление: угол положительный, значит, вращение против часовой стрелки.
Количество полных оборотов: $\frac{|12\pi|}{2\pi} = \frac{12\pi}{2\pi} = 6$.
Ответ: 6 полных оборотов против часовой стрелки.

Для угла $-7\pi$:
Направление: угол отрицательный, значит, вращение по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\lfloor \frac{|-7\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{7\pi}{2\pi} \rfloor = \lfloor 3,5 \rfloor = 3$.
Ответ: 3 полных оборота по часовой стрелке.

Для угла $-0,5\pi$:
Направление: угол отрицательный, значит, вращение по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\lfloor \frac{|-0,5\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{0,5\pi}{2\pi} \rfloor = \lfloor 0,25 \rfloor = 0$.
Ответ: 0 полных оборотов.

Для угла $3\frac{1}{3}\pi$ (или $\frac{10}{3}\pi$):
Направление: угол положительный, значит, вращение против часовой стрелки.
Количество полных оборотов: $\lfloor \frac{|\frac{10}{3}\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{10\pi}{3 \cdot 2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{10}{6} \rfloor = \lfloor 1,\!66... \rfloor = 1$.
Ответ: 1 полный оборот против часовой стрелки.

Для угла $-13,2\pi$:
Направление: угол отрицательный, значит, вращение по часовой стрелке.
Количество полных оборотов: $\lfloor \frac{|-13,2\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{13,2\pi}{2\pi} \rfloor = \lfloor 6,6 \rfloor = 6$.
Ответ: 6 полных оборотов по часовой стрелке.

Для угла $21,7\pi$:
Направление: угол положительный, значит, вращение против часовой стрелки.
Количество полных оборотов: $\lfloor \frac{|21,7\pi|}{2\pi} \rfloor = \lfloor \frac{21,7\pi}{2\pi} \rfloor = \lfloor 10,85 \rfloor = 10$.
Ответ: 10 полных оборотов против часовой стрелки.

538. Назовите несколько положительных и отрицательных углов, образованных такими поворотами, при каждом из которых угол между начальным и конечным положениями подвижного вектора равен:

а) $\frac{\pi}{6}$;

б) $\frac{\pi}{3}$;

в) $-\frac{\pi}{4}$;

г) $-\frac{\pi}{2}$.

Поворот на угол $\alpha$ и поворот на угол $\alpha + 2\pi k$ (где $k$ - любое целое число) приводят подвижный вектор в одно и то же конечное положение, так как $2\pi$ радиан соответствует полному обороту. Чтобы найти несколько положительных и отрицательных углов, мы будем подставлять различные целые значения $k$ (положительные и отрицательные) в формулу $\alpha_{new} = \alpha_{initial} + 2\pi k$.

а) Для угла $\frac{\pi}{6}$

Искомые углы находятся по формуле $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Найдем положительные углы, взяв $k=1$ и $k=2$:
При $k=1$: $\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$.
При $k=2$: $\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{25\pi}{6}$.
Найдем отрицательные углы, взяв $k=-1$ и $k=-2$:
При $k=-1$: $\frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$.
При $k=-2$: $\frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi}{6} - \frac{24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6}$.
Ответ: например, положительные углы $\frac{13\pi}{6}$ и $\frac{25\pi}{6}$; отрицательные углы $-\frac{11\pi}{6}$ и $-\frac{23\pi}{6}$.

б) Для угла $\frac{\pi}{3}$

Искомые углы находятся по формуле $\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Найдем положительные углы, взяв $k=1$ и $k=2$:
При $k=1$: $\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$.
При $k=2$: $\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{13\pi}{3}$.
Найдем отрицательные углы, взяв $k=-1$ и $k=-2$:
При $k=-1$: $\frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3}$.
При $k=-2$: $\frac{\pi}{3} - 4\pi = \frac{\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3}$.
Ответ: например, положительные углы $\frac{7\pi}{3}$ и $\frac{13\pi}{3}$; отрицательные углы $-\frac{5\pi}{3}$ и $-\frac{11\pi}{3}$.

в) Для угла $-\frac{\pi}{4}$

Искомые углы находятся по формуле $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k$.
Найдем положительные углы, взяв $k=1$ и $k=2$:
При $k=1$: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
При $k=2$: $-\frac{\pi}{4} + 4\pi = -\frac{\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{15\pi}{4}$.
Найдем отрицательные углы, взяв $k=-1$ и $k=-2$:
При $k=-1$: $-\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$.
При $k=-2$: $-\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{\pi}{4} - \frac{16\pi}{4} = -\frac{17\pi}{4}$.
Ответ: например, положительные углы $\frac{7\pi}{4}$ и $\frac{15\pi}{4}$; отрицательные углы $-\frac{9\pi}{4}$ и $-\frac{17\pi}{4}$.

г) Для угла $-\frac{\pi}{2}$

Искомые углы находятся по формуле $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
Найдем положительные углы, взяв $k=1$ и $k=2$:
При $k=1$: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi = -\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
При $k=2$: $-\frac{\pi}{2} + 4\pi = -\frac{\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$.
Найдем отрицательные углы, взяв $k=-1$ и $k=-2$:
При $k=-1$: $-\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}$.
При $k=-2$: $-\frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{\pi}{2} - \frac{8\pi}{2} = -\frac{9\pi}{2}$.
Ответ: например, положительные углы $\frac{3\pi}{2}$ и $\frac{7\pi}{2}$; отрицательные углы $-\frac{5\pi}{2}$ и $-\frac{9\pi}{2}$.