Страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

539. Запишите в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$, где $n$ — некоторое целое число $(0 \le \alpha < 2\pi)$, следующие числа:

а) $6,5\pi$;

б) $\frac{9}{2}\pi$;

в) $-12\frac{1}{3}\pi$;

г) $-17\frac{1}{6}\pi$.

а) Чтобы представить число $6,5\pi$ в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$, где $0 \le \alpha < 2\pi$, нужно выделить из него целое число полных оборотов (слагаемое, кратное $2\pi$).
$6,5\pi = 6\pi + 0,5\pi$.
Слагаемое $6\pi$ можно представить в виде $2\pi \cdot n$: $6\pi = 2\pi \cdot 3$.
Таким образом, $6,5\pi = 0,5\pi + 2\pi \cdot 3$.
Здесь $\alpha = 0,5\pi = \frac{\pi}{2}$ и $n = 3$. Условие $0 \le \frac{\pi}{2} < 2\pi$ выполняется.
Запись в требуемом виде: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 3$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 3$.

б) Представим число $\frac{9}{2}\pi$ в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$.
Сначала преобразуем дробь: $\frac{9}{2}\pi = 4,5\pi$.
Выделим целое число полных оборотов: $4,5\pi = 4\pi + 0,5\pi$.
Слагаемое $4\pi$ можно представить в виде $2\pi \cdot n$: $4\pi = 2\pi \cdot 2$.
Таким образом, $\frac{9}{2}\pi = 0,5\pi + 2\pi \cdot 2$.
Здесь $\alpha = 0,5\pi = \frac{\pi}{2}$ и $n = 2$. Условие $0 \le \frac{\pi}{2} < 2\pi$ выполняется.
Запись в требуемом виде: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2$.

в) Представим число $-12\frac{1}{3}\pi$ в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$.
Для отрицательных чисел нужно прибавить такое количество полных оборотов $2\pi$, чтобы получить положительный угол $\alpha$ в диапазоне $[0, 2\pi)$.
Переведем смешанную дробь в неправильную: $-12\frac{1}{3}\pi = -\frac{37}{3}\pi$.
Мы можем представить исходное число, выделив из него четное кратное $\pi$, которое меньше исходного числа. Ближайшее такое число — это $-14\pi$.
$-12\frac{1}{3}\pi = -14\pi + (14\pi - 12\frac{1}{3}\pi) = -14\pi + (\frac{42\pi}{3} - \frac{37\pi}{3}) = -14\pi + \frac{5\pi}{3}$.
Представим $-14\pi$ в виде $2\pi \cdot n$: $-14\pi = 2\pi \cdot (-7)$.
Получаем: $-12\frac{1}{3}\pi = \frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot (-7)$.
Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ и $n = -7$. Условие $0 \le \frac{5\pi}{3} < 2\pi$ выполняется.
Ответ: $\frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot (-7)$.

г) Представим число $-17\frac{1}{6}\pi$ в виде $\alpha + 2\pi \cdot n$.
Переведем смешанную дробь в неправильную: $-17\frac{1}{6}\pi = -\frac{103}{6}\pi$.
Аналогично предыдущему пункту, выделим четное кратное $\pi$, которое меньше исходного числа. Ближайшее такое число — это $-18\pi$.
$-17\frac{1}{6}\pi = -18\pi + (18\pi - 17\frac{1}{6}\pi) = -18\pi + (\frac{108\pi}{6} - \frac{103\pi}{6}) = -18\pi + \frac{5\pi}{6}$.
Представим $-18\pi$ в виде $2\pi \cdot n$: $-18\pi = 2\pi \cdot (-9)$.
Получаем: $-17\frac{1}{6}\pi = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-9)$.
Здесь $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ и $n = -9$. Условие $0 \le \frac{5\pi}{6} < 2\pi$ выполняется.
Ответ: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot (-9)$.

540. По рисунку 70 определите:

а) наименьшую положительную; наименьшую по абсолютной величине радианную меру углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $AOE$;

б) радианную меру всех углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $AOE$.

Поскольку рисунок 70 не предоставлен, решение основано на предположении о стандартном расположении лучей на единичной окружности. Пусть луч OA совпадает с положительным направлением оси Ox. Тогда лучи OB, OC, OD и OE соответствуют поворотам на углы $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ и $360^\circ$ ($0^\circ$) против часовой стрелки.

Для каждого угла найдем две величины: наименьшую положительную меру (угол $\alpha$, где $0 < \alpha \leq 2\pi$) и меру с наименьшей абсолютной величиной (угол $\beta$, где $-\pi < \beta \leq \pi$).

Для угла AOB ($90^\circ$): Наименьшая положительная мера — это $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ радиан. Это значение также является наименьшим по абсолютной величине, так как оно находится в промежутке $(-\pi, \pi]$.

Для угла AOC ($180^\circ$): Наименьшая положительная мера — это $180^\circ = \pi$ радиан. Мера с наименьшей абсолютной величиной также равна $\pi$, так как это значение принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$. Стоит отметить, что угол $-\pi$ имеет ту же абсолютную величину, но по соглашению выбирается положительное значение.

Для угла AOD ($270^\circ$): Наименьшая положительная мера — это $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ радиан. Чтобы найти меру с наименьшей абсолютной величиной, найдем эквивалентный угол в промежутке $(-\pi, \pi]$: $270^\circ - 360^\circ = -90^\circ = -\frac{\pi}{2}$ радиан. Так как $|-\frac{\pi}{2}| < |\frac{3\pi}{2}|$, наименьшая по абсолютной величине мера равна $-\frac{\pi}{2}$.

Для угла AOE ($0^\circ$ или $360^\circ$): Наименьшая положительная мера соответствует полному обороту, то есть $360^\circ = 2\pi$ радиан. Мера с наименьшей абсолютной величиной соответствует отсутствию поворота, то есть 0 радиан, так как $|0| = 0$ — минимально возможное значение.

Ответ: для угла AOB наименьшая положительная мера $\frac{\pi}{2}$, наименьшая по абсолютной величине мера $\frac{\pi}{2}$; для угла AOC наименьшая положительная мера $\pi$, наименьшая по абсолютной величине мера $\pi$; для угла AOD наименьшая положительная мера $\frac{3\pi}{2}$, наименьшая по абсолютной величине мера $-\frac{\pi}{2}$; для угла AOE наименьшая положительная мера $2\pi$, наименьшая по абсолютной величине мера $0$.

Радианная мера всех углов, соответствующих данному положению луча, находится по формуле $\alpha + 2\pi k$, где $\alpha$ — одна из радианных мер этого угла (например, наименьшая положительная), а $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Для угла AOB: Используя наименьшую положительную меру $\alpha = \frac{\pi}{2}$, общая формула: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для угла AOC: Используя меру $\alpha = \pi$, общая формула: $\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для угла AOD: Используя наименьшую положительную меру $\alpha = \frac{3\pi}{2}$, общая формула: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для угла AOE: Используя меру $\alpha = 0$, общая формула: $0 + 2\pi k = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: радианная мера всех углов AOB: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; AOC: $\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; AOD: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; AOE: $2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

541. а) Постройте окружность радиуса 5 см с центром в начале системы координат. Точку её пересечения с положительной полуосью $Ox$ обозначьте $A_0$. Считая $\vec{OA_0}$ начальным положением подвижного вектора, постройте (с помощью транспортира) вектор $\vec{OA_\alpha}$, где $\alpha$ — градусная мера угла поворота подвижного вектора. Выполните задание при $\alpha$, равном $0^\circ; 30^\circ; 45^\circ; 60^\circ; 90^\circ$.

б) Постройте точки, симметричные точкам $A_\alpha$ относительно оси $Ox$; оси $Oy$; начала системы координат. Определите угол поворота, при котором точка $A_\alpha$ переходит в построенную точку.

Сначала построим прямоугольную систему координат $Oxy$. С помощью циркуля построим окружность с центром в начале координат $O(0, 0)$ и радиусом $R=5$ см. Точка пересечения этой окружности с положительной полуосью $Ox$ является точкой $A_0$. Её координаты $(5, 0)$. Вектор $\vec{OA_0}$ является начальным положением подвижного вектора.

Далее, с помощью транспортира, откладываем от луча $OA_0$ (совпадающего с положительной полуосью $Ox$) углы $\alpha$ против часовой стрелки. Точки пересечения сторон этих углов с окружностью и будут искомыми точками $A_\alpha$, а векторы, соединяющие начало координат с этими точками — искомыми векторами $\vec{OA_\alpha}$. Координаты точек $A_\alpha$ можно вычислить по формулам: $x = R \cos \alpha$ и $y = R \sin \alpha$.

При $\alpha = 0^\circ$, вектор $\vec{OA_0}$ совпадает с начальным положением. Точка $A_0$ имеет координаты $(5 \cos 0^\circ, 5 \sin 0^\circ) = (5, 0)$.

При $\alpha = 30^\circ$, точка $A_{30}$ имеет координаты $(5 \cos 30^\circ, 5 \sin 30^\circ) = (5 \frac{\sqrt{3}}{2}, 5 \cdot \frac{1}{2}) = (\frac{5\sqrt{3}}{2}, 2.5)$.

При $\alpha = 45^\circ$, точка $A_{45}$ имеет координаты $(5 \cos 45^\circ, 5 \sin 45^\circ) = (5 \frac{\sqrt{2}}{2}, 5 \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2})$.

При $\alpha = 60^\circ$, точка $A_{60}$ имеет координаты $(5 \cos 60^\circ, 5 \sin 60^\circ) = (5 \cdot \frac{1}{2}, 5 \frac{\sqrt{3}}{2}) = (2.5, \frac{5\sqrt{3}}{2})$.

При $\alpha = 90^\circ$, точка $A_{90}$ имеет координаты $(5 \cos 90^\circ, 5 \sin 90^\circ) = (0, 5)$.

Ответ: Векторы $\vec{OA_\alpha}$ строятся поворотом начального вектора $\vec{OA_0}$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки. Концы векторов, точки $A_\alpha$, лежат на окружности радиуса 5 с центром в начале координат и имеют следующие координаты: $A_0(5, 0)$; $A_{30}(\frac{5\sqrt{3}}{2}, 2.5)$; $A_{45}(\frac{5\sqrt{2}}{2}, \frac{5\sqrt{2}}{2})$; $A_{60}(2.5, \frac{5\sqrt{3}}{2})$; $A_{90}(0, 5)$.

Пусть точка $A_\alpha$ получена поворотом точки $A_0(5, 0)$ на угол $\alpha$. Её координаты $(x_\alpha, y_\alpha) = (5\cos\alpha, 5\sin\alpha)$. Рассмотрим построение симметричных ей точек и определим соответствующие им углы поворота от начального положения $A_0$.

Симметрия относительно оси Ox

Точка $A'_\alpha$, симметричная точке $A_\alpha(x_\alpha, y_\alpha)$ относительно оси $Ox$, имеет координаты $(x_\alpha, -y_\alpha)$. Для построения нужно из точки $A_\alpha$ опустить перпендикуляр на ось $Ox$ и продлить его на такое же расстояние за ось.

Координаты точки $A'_\alpha$ равны $(5\cos\alpha, -5\sin\alpha)$. Используя тригонометрические тождества $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ и $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$, получаем, что координаты точки $A'_\alpha$ можно записать как $(5\cos(-\alpha), 5\sin(-\alpha))$. Это означает, что точка $A'_\alpha$ получается поворотом начальной точки $A_0$ на угол $-\alpha$ (или $360^\circ - \alpha$).

Ответ: Угол поворота от начального положения, при котором точка $A_0$ переходит в точку, симметричную $A_\alpha$ относительно оси $Ox$, равен $-\alpha$ или $360^\circ - \alpha$.

Симметрия относительно оси Oy

Точка $A''_\alpha$, симметричная точке $A_\alpha(x_\alpha, y_\alpha)$ относительно оси $Oy$, имеет координаты $(-x_\alpha, y_\alpha)$. Для построения нужно из точки $A_\alpha$ опустить перпендикуляр на ось $Oy$ и продлить его на такое же расстояние за ось.

Координаты точки $A''_\alpha$ равны $(-5\cos\alpha, 5\sin\alpha)$. Используя формулы приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получаем, что координаты точки $A''_\alpha$ можно записать как $(5\cos(180^\circ - \alpha), 5\sin(180^\circ - \alpha))$.

Ответ: Угол поворота от начального положения, при котором точка $A_0$ переходит в точку, симметричную $A_\alpha$ относительно оси $Oy$, равен $180^\circ - \alpha$.

Симметрия относительно начала системы координат

Точка $A'''_\alpha$, симметричная точке $A_\alpha(x_\alpha, y_\alpha)$ относительно начала координат $O$, имеет координаты $(-x_\alpha, -y_\alpha)$. Для построения нужно соединить точку $A_\alpha$ с началом координат и продлить этот отрезок на такое же расстояние за точку $O$.

Координаты точки $A'''_\alpha$ равны $(-5\cos\alpha, -5\sin\alpha)$. Используя формулы приведения $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha$ и $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$, получаем, что координаты точки $A'''_\alpha$ можно записать как $(5\cos(180^\circ + \alpha), 5\sin(180^\circ + \alpha))$.

Ответ: Угол поворота от начального положения, при котором точка $A_0$ переходит в точку, симметричную $A_\alpha$ относительно начала координат, равен $180^\circ + \alpha$.