Номер 540, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

540. По рисунку 70 определите:

а) наименьшую положительную; наименьшую по абсолютной величине радианную меру углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $AOE$;

б) радианную меру всех углов $AOB$, $AOC$, $AOD$, $AOE$.

Поскольку рисунок 70 не предоставлен, решение основано на предположении о стандартном расположении лучей на единичной окружности. Пусть луч OA совпадает с положительным направлением оси Ox. Тогда лучи OB, OC, OD и OE соответствуют поворотам на углы $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ и $360^\circ$ ($0^\circ$) против часовой стрелки.

Для каждого угла найдем две величины: наименьшую положительную меру (угол $\alpha$, где $0 < \alpha \leq 2\pi$) и меру с наименьшей абсолютной величиной (угол $\beta$, где $-\pi < \beta \leq \pi$).

Для угла AOB ($90^\circ$): Наименьшая положительная мера — это $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ радиан. Это значение также является наименьшим по абсолютной величине, так как оно находится в промежутке $(-\pi, \pi]$.

Для угла AOC ($180^\circ$): Наименьшая положительная мера — это $180^\circ = \pi$ радиан. Мера с наименьшей абсолютной величиной также равна $\pi$, так как это значение принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$. Стоит отметить, что угол $-\pi$ имеет ту же абсолютную величину, но по соглашению выбирается положительное значение.

Для угла AOD ($270^\circ$): Наименьшая положительная мера — это $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ радиан. Чтобы найти меру с наименьшей абсолютной величиной, найдем эквивалентный угол в промежутке $(-\pi, \pi]$: $270^\circ - 360^\circ = -90^\circ = -\frac{\pi}{2}$ радиан. Так как $|-\frac{\pi}{2}| < |\frac{3\pi}{2}|$, наименьшая по абсолютной величине мера равна $-\frac{\pi}{2}$.

Для угла AOE ($0^\circ$ или $360^\circ$): Наименьшая положительная мера соответствует полному обороту, то есть $360^\circ = 2\pi$ радиан. Мера с наименьшей абсолютной величиной соответствует отсутствию поворота, то есть 0 радиан, так как $|0| = 0$ — минимально возможное значение.

Ответ: для угла AOB наименьшая положительная мера $\frac{\pi}{2}$, наименьшая по абсолютной величине мера $\frac{\pi}{2}$; для угла AOC наименьшая положительная мера $\pi$, наименьшая по абсолютной величине мера $\pi$; для угла AOD наименьшая положительная мера $\frac{3\pi}{2}$, наименьшая по абсолютной величине мера $-\frac{\pi}{2}$; для угла AOE наименьшая положительная мера $2\pi$, наименьшая по абсолютной величине мера $0$.

Радианная мера всех углов, соответствующих данному положению луча, находится по формуле $\alpha + 2\pi k$, где $\alpha$ — одна из радианных мер этого угла (например, наименьшая положительная), а $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Для угла AOB: Используя наименьшую положительную меру $\alpha = \frac{\pi}{2}$, общая формула: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для угла AOC: Используя меру $\alpha = \pi$, общая формула: $\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для угла AOD: Используя наименьшую положительную меру $\alpha = \frac{3\pi}{2}$, общая формула: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для угла AOE: Используя меру $\alpha = 0$, общая формула: $0 + 2\pi k = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: радианная мера всех углов AOB: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; AOC: $\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; AOD: $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; AOE: $2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.