Номер 546, страница 162 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

546. Используя свойства прямоугольных треугольников, найдите:

a) $\sin 45^\circ$;

б) $\cos \frac{\pi}{4}$;

в) $\sin \frac{\pi}{4}$;

г) $\cos 30^\circ$;

д) $\sin 60^\circ$;

е) $\cos \frac{\pi}{3}$.

Для нахождения значения $ \sin 45^\circ $ рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. В таком треугольнике углы при основании равны, и так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а один угол прямой ($90^\circ$), то два других острых угла равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
Пусть катеты этого треугольника равны $a$. По теореме Пифагора, гипотенуза $c$ будет равна $c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла в $45^\circ$ противолежащий катет равен $a$.
Следовательно, $ \sin 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

Угол $\frac{\pi}{4}$ в радианах соответствует углу $45^\circ$ в градусах. Для нахождения значения $ \cos \frac{\pi}{4} $ используем тот же равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной $a$ и гипотенузой $a\sqrt{2}$.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла в $45^\circ$ прилежащий катет также равен $a$.
Следовательно, $ \cos \frac{\pi}{4} = \cos 45^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $.
Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем: $ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

Как и в предыдущем пункте, угол $\frac{\pi}{4}$ радиан равен $45^\circ$. Для нахождения $ \sin \frac{\pi}{4} $ вновь обратимся к равнобедренному прямоугольному треугольнику.
Его катеты равны $a$, а гипотенуза $a\sqrt{2}$. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$ \sin \frac{\pi}{4} = \sin 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

Для нахождения значений тригонометрических функций углов $30^\circ$ и $60^\circ$ рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $2a$. Все углы в таком треугольнике равны $60^\circ$.
Проведем в нем высоту, которая также будет являться медианой и биссектрисой. Она разделит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один из полученных прямоугольных треугольников. Его углы равны $30^\circ$ (так как высота является биссектрисой угла $60^\circ$), $60^\circ$ и $90^\circ$.
Гипотенуза этого треугольника равна $2a$ (сторона исходного треугольника).
Катет, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине основания, то есть $a$.
Второй катет (высоту) найдем по теореме Пифагора: $h = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$. Этот катет является прилежащим к углу $30^\circ$.
Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Следовательно, $ \cos 30^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

Используем тот же прямоугольный треугольник с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, который мы получили из равностороннего треугольника.
Стороны этого прямоугольного треугольника: гипотенуза $2a$, катет, прилежащий к углу $60^\circ$, равен $a$, и катет, противолежащий углу $60^\circ$, равен $a\sqrt{3}$.
Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $60^\circ$ противолежащим катетом является сторона длиной $a\sqrt{3}$.
Следовательно, $ \sin 60^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

Угол $\frac{\pi}{3}$ в радианах равен $60^\circ$ в градусах. Для нахождения $ \cos \frac{\pi}{3} $ снова используем прямоугольный треугольник с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.
Гипотенуза этого треугольника равна $2a$. Катет, прилежащий к углу $60^\circ$, имеет длину $a$.
Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Следовательно, $ \cos \frac{\pi}{3} = \cos 60^\circ = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $