Номер 552, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

552. Найдите синусы и косинусы следующих углов (k — любое целое число):

а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k;$

б) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k;$

в) $\pi + 2\pi k;$

г) $-\pi + 2\pi k;$

д) $2\pi k;$

е) $4\pi k;$

ж) $\pi k;$

з) $-\pi k;$

и) $\frac{\pi}{2};$

к) $-\frac{\pi}{2};$

л) $\frac{\pi}{2} + \pi k;$

м) $-\frac{\pi}{2} + \pi k.$

а) Для угла $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ мы используем свойство периодичности синуса и косинуса. Период этих функций равен $2\pi$, поэтому прибавление $2\pi k$ (где $k$ — любое целое число) не изменяет значения функции.
$\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Ответ: $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$.

б) Для угла $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ мы также используем свойство периодичности, а затем свойства четности и нечетности тригонометрических функций.
$\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$ (поскольку синус — нечетная функция).
$\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ (поскольку косинус — четная функция).
Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -1$, $\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$.

в) Для угла $\pi + 2\pi k$ снова используем свойство периодичности.
$\sin(\pi + 2\pi k) = \sin(\pi) = 0$
$\cos(\pi + 2\pi k) = \cos(\pi) = -1$
Ответ: $\sin(\pi + 2\pi k) = 0$, $\cos(\pi + 2\pi k) = -1$.

г) Для угла $-\pi + 2\pi k$ используем свойство периодичности и свойства четности/нечетности.
$\sin(-\pi + 2\pi k) = \sin(-\pi) = -\sin(\pi) = 0$
$\cos(-\pi + 2\pi k) = \cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$
Ответ: $\sin(-\pi + 2\pi k) = 0$, $\cos(-\pi + 2\pi k) = -1$.

д) Угол $2\pi k$ представляет собой целое число полных оборотов на единичной окружности, что эквивалентно углу 0.
$\sin(2\pi k) = \sin(0) = 0$
$\cos(2\pi k) = \cos(0) = 1$
Ответ: $\sin(2\pi k) = 0$, $\cos(2\pi k) = 1$.

е) Угол $4\pi k = 2\pi(2k)$ также представляет собой целое число полных оборотов, что эквивалентно углу 0.
$\sin(4\pi k) = \sin(0) = 0$
$\cos(4\pi k) = \cos(0) = 1$
Ответ: $\sin(4\pi k) = 0$, $\cos(4\pi k) = 1$.

ж) Для угла $\pi k$ результат зависит от четности числа $k$.
1. Если $k$ — четное число, т.е. $k=2n$ (где $n$ — целое), то угол равен $2\pi n$. В этом случае $\sin(2\pi n)=0$ и $\cos(2\pi n)=1$.
2. Если $k$ — нечетное число, т.е. $k=2n+1$, то угол равен $\pi(2n+1) = \pi + 2\pi n$. В этом случае $\sin(\pi+2\pi n)=\sin(\pi)=0$ и $\cos(\pi+2\pi n)=\cos(\pi)=-1$.
Таким образом, $\sin(\pi k)$ всегда равен 0. Значение $\cos(\pi k)$ равно 1 для четных $k$ и -1 для нечетных $k$. Это можно записать с помощью формулы $(-1)^k$.
Ответ: $\sin(\pi k) = 0$, $\cos(\pi k) = (-1)^k$.

з) Для угла $-\pi k$ используем результаты из предыдущего пункта и свойства четности/нечетности.
$\sin(-\pi k) = -\sin(\pi k) = -0 = 0$
$\cos(-\pi k) = \cos(\pi k) = (-1)^k$
Ответ: $\sin(-\pi k) = 0$, $\cos(-\pi k) = (-1)^k$.

и) Для постоянного угла $\frac{\pi}{2}$ значения синуса и косинуса являются табличными.
$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Ответ: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

к) Для постоянного угла $-\frac{\pi}{2}$ используем свойства четности/нечетности.
$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$
$\cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$
Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.

л) Для угла $\frac{\pi}{2} + \pi k$ результат зависит от четности $k$.
1. Если $k$ — четное ($k=2n$), угол равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Тогда $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2})=1$ и $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{2})=0$.
2. Если $k$ — нечетное ($k=2n+1$), угол равен $\frac{\pi}{2} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$. Тогда $\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{3\pi}{2})=-1$ и $\cos(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(\frac{3\pi}{2})=0$.
Таким образом, $\cos(\frac{\pi}{2} + \pi k)$ всегда равен 0. Значение $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k)$ равно 1 для четных $k$ и -1 для нечетных $k$, что можно записать как $(-1)^k$.
Ответ: $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^k$, $\cos(\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$.

м) Для угла $-\frac{\pi}{2} + \pi k$ результат также зависит от четности $k$.
1. Если $k$ — четное ($k=2n$), угол равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Тогда $\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ и $\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(-\frac{\pi}{2})=0$.
2. Если $k$ — нечетное ($k=2n+1$), угол равен $-\frac{\pi}{2} + \pi(2n+1) = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Тогда $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2})=1$ и $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{2})=0$.
Таким образом, $\cos(-\frac{\pi}{2} + \pi k)$ всегда равен 0. Значение $\sin(-\frac{\pi}{2} + \pi k)$ равно -1 для четных $k$ и 1 для нечетных $k$, что можно записать как $(-1)^{k+1}$.
Ответ: $\sin(-\frac{\pi}{2} + \pi k) = (-1)^{k+1}$, $\cos(-\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$.