Номер 549, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

549. а) $\sin \frac{11\pi}{2}$;

б) $\cos \left(-\frac{13\pi}{4}\right)$;

в) $\sin \frac{7\pi}{3}$;

г) $\cos \left(-\frac{13\pi}{6}\right)$.

а) Чтобы найти значение $\sin\frac{11\pi}{2}$, воспользуемся свойством периодичности функции синус, период которой равен $2\pi$.
Представим угол $\frac{11\pi}{2}$ в виде суммы, выделив целое число полных оборотов ($2\pi$):
$\frac{11\pi}{2} = \frac{8\pi + 3\pi}{2} = \frac{8\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 4\pi + \frac{3\pi}{2} = 2 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}$.
Так как $2\pi$ является периодом синуса, то $\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)$ для любого целого $k$.
Следовательно, $\sin\frac{11\pi}{2} = \sin(2 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2})$.
Известно, что значение $\sin(\frac{3\pi}{2})$ равно -1.
Ответ: -1

б) Чтобы найти значение $\cos(-\frac{13\pi}{4})$, сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.
$\cos(-\frac{13\pi}{4}) = \cos(\frac{13\pi}{4})$.
Далее, используем периодичность косинуса (период $2\pi$). Выделим из угла $\frac{13\pi}{4}$ целое число периодов:
$\frac{13\pi}{4} = \frac{8\pi + 5\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 2\pi + \frac{5\pi}{4}$.
Следовательно, $\cos(\frac{13\pi}{4}) = \cos(2\pi + \frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4})$.
Для вычисления $\cos(\frac{5\pi}{4})$ применим формулу приведения. Представим $\frac{5\pi}{4}$ как $\pi + \frac{\pi}{4}$.
$\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$.
Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, $\cos(-\frac{13\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) Чтобы найти значение $\sin\frac{7\pi}{3}$, воспользуемся периодичностью функции синус (период $2\pi$).
Выделим из угла $\frac{7\pi}{3}$ целое число периодов:
$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.
Применяя свойство периодичности, получаем:
$\sin\frac{7\pi}{3} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.
Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

г) Чтобы найти значение $\cos\frac{13\pi}{6}$, воспользуемся периодичностью функции косинус (период $2\pi$).
Выделим из угла $\frac{13\pi}{6}$ целое число периодов:
$\frac{13\pi}{6} = \frac{12\pi + \pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.
Применяя свойство периодичности, получаем:
$\cos\frac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.
Табличное значение $\cos(\frac{\pi}{6})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$