Номер 556, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

556. Определите знак числа:

а) $\sin 4$;

б) $\cos \frac{3\pi}{4}$;

в) $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)$;

г) $\cos (-4)$.

а) Чтобы определить знак числа $\sin 4$, необходимо установить, в какой четверти единичной окружности находится угол в 4 радиана. Для этого сравним число 4 с границами четвертей, выраженными в радианах, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$.
Первая четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
Вторая четверть: от $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ до $\pi \approx 3.14$.
Третья четверть: от $\pi \approx 3.14$ до $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$.
Так как выполняется неравенство $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$ (или $3.14 < 4 < 4.71$), угол в 4 радиана расположен в третьей четверти. В третьей четверти значения функции синус отрицательны. Следовательно, $\sin 4 < 0$.
Ответ: минус.

б) Чтобы определить знак числа $\cos \frac{3\pi}{4}$, установим, в какой четверти единичной окружности находится угол $\frac{3\pi}{4}$.
Сравним значение угла с границами четвертей: $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$, так как $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}$.
Это означает, что угол $\frac{3\pi}{4}$ расположен во второй четверти. Во второй четверти значения функции косинус отрицательны. Следовательно, $\cos \frac{3\pi}{4} < 0$.
Ответ: минус.

в) Чтобы определить знак числа $\sin(-\frac{\pi}{2})$, можно использовать свойство нечетности синуса: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$.
Применяя это свойство, получаем: $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2})$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, то $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Число -1 отрицательное.
Ответ: минус.

г) Чтобы определить знак числа $\cos(-4)$, можно использовать свойство четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
Применяя это свойство, получаем: $\cos(-4) = \cos(4)$.
Задача сводится к определению знака $\cos 4$. Как было установлено в пункте а), угол в 4 радиана расположен в третьей четверти. В третьей четверти значения функции косинус отрицательны. Следовательно, $\cos 4 < 0$, а значит и $\cos(-4) < 0$.
Ответ: минус.