Номер 561, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

561. Определите знак произведения:

а) $ \cos 130^\circ \cdot \sin 170^\circ $;

б) $ \sin \frac{3\pi}{4} \cdot \cos \frac{2\pi}{3} $;

в) $ \sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right) \cdot \cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right) $;

г) $ \cos \frac{11}{4}\pi \cdot \sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right) $.

Чтобы определить знак произведения, нужно определить знак каждого из сомножителей и воспользоваться правилом знаков при умножении.

1. Определим знак $\cos 130^\circ$. Угол $130^\circ$ находится во второй координатной четверти, так как $90^\circ < 130^\circ < 180^\circ$. Косинус во второй четверти отрицателен. Следовательно, $\cos 130^\circ < 0$.

2. Определим знак $\sin 170^\circ$. Угол $170^\circ$ также находится во второй четверти ($90^\circ < 170^\circ < 180^\circ$). Синус во второй четверти положителен. Следовательно, $\sin 170^\circ > 0$.

3. Произведение отрицательного числа и положительного числа является отрицательным числом: $(-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: знак "минус".

1. Определим знак $\sin \frac{3\pi}{4}$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi$. Синус во второй четверти положителен. Следовательно, $\sin \frac{3\pi}{4} > 0$.

2. Определим знак $\cos \frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ также находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$. Косинус во второй четверти отрицателен. Следовательно, $\cos \frac{2\pi}{3} < 0$.

3. Произведение положительного числа и отрицательного числа является отрицательным числом: $(+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: знак "минус".

1. Определим знак $\sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right)$. Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-x) = -\sin(x)$. Таким образом, $\sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -(-1) = 1$. Значение положительное, $\sin \left(-\frac{3\pi}{2}\right) > 0$.

2. Определим знак $\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right)$. Функция косинус является четной, поэтому $\cos(-x) = \cos(x)$. Таким образом, $\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$. Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$), где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right) < 0$.

3. Произведение положительного числа и отрицательного числа является отрицательным числом: $(+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: знак "минус".

1. Определим знак $\cos \frac{11\pi}{4}$. Упростим угол, выделив полные обороты ($2\pi$): $\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi+3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4}$. Используя периодичность косинуса, получаем $\cos \frac{11\pi}{4} = \cos\left(2\pi + \frac{3\pi}{4}\right) = \cos \frac{3\pi}{4}$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos \frac{11\pi}{4} < 0$.

2. Определим знак $\sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right)$. Используем нечетность синуса: $\sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right) = -\sin \left(\frac{17\pi}{3}\right)$. Упростим угол $\frac{17\pi}{3} = \frac{12\pi+5\pi}{3} = 4\pi + \frac{5\pi}{3}$. Тогда $\sin \left(\frac{17\pi}{3}\right) = \sin\left(4\pi + \frac{5\pi}{3}\right) = \sin \frac{5\pi}{3}$. Угол $\frac{5\pi}{3}$ находится в четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} < \frac{5\pi}{3} < 2\pi$), где синус отрицателен, т.е. $\sin \frac{5\pi}{3} < 0$. Отсюда $\sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right) = - \left(\sin \frac{5\pi}{3}\right) > 0$.

3. Произведение отрицательного числа и положительного числа является отрицательным числом: $(-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: знак "минус".