Номер 567, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

567. а) Каковы основные формулы для $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $?

б) Какие знаки имеют синус и косинус угла $ \alpha $, если точка единичной окружности, соответствующая углу $ \alpha $, расположена в I четверти? во II четверти? в III четверти? в IV четверти?

а) Основные формулы для синуса ($\sin\alpha$) и косинуса ($\cos\alpha$) одного и того же угла $\alpha$ устанавливают связь между ними и другими тригонометрическими функциями.

1. Основное тригонометрическое тождество. Это самая важная формула, которая является прямым следствием теоремы Пифагора для точки на единичной окружности с координатами $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Она гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна единице:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

2. Формулы для выражения одной функции через другую. Из основного тригонометрического тождества можно выразить синус через косинус и наоборот. Знак перед корнем зависит от четверти, в которой расположен угол $\alpha$:
$\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$
$\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$

3. Определения тангенса и котангенса. Эти формулы связывают синус и косинус с тангенсом ($\tan\alpha$) и котангенсом ($\cot\alpha$):
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, где $\cos\alpha \neq 0$
$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, где $\sin\alpha \neq 0$

Ответ: Основными формулами для $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ являются: основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$; формулы, выражающие одну функцию через другую: $\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ и $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$; а также формулы, связывающие их с тангенсом и котангенсом: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

б) Знаки синуса и косинуса угла $\alpha$ определяются знаками координат точки $P(x, y)$, соответствующей этому углу на единичной окружности. По определению, абсцисса точки $x = \cos\alpha$, а ордината $y = \sin\alpha$. Координатные оси делят плоскость на четыре четверти, в каждой из которых знаки координат, а следовательно и знаки синуса и косинуса, постоянны.

В I четверти (углы от $0^\circ$ до $90^\circ$): точка находится в области, где $x > 0$ и $y > 0$. Таким образом, и косинус, и синус имеют знак «плюс»: $\cos\alpha > 0$, $\sin\alpha > 0$.

Во II четверти (углы от $90^\circ$ до $180^\circ$): точка находится в области, где $x < 0$ и $y > 0$. Таким образом, косинус имеет знак «минус», а синус — знак «плюс»: $\cos\alpha < 0$, $\sin\alpha > 0$.

В III четверти (углы от $180^\circ$ до $270^\circ$): точка находится в области, где $x < 0$ и $y < 0$. Таким образом, и косинус, и синус имеют знак «минус»: $\cos\alpha < 0$, $\sin\alpha < 0$.

В IV четверти (углы от $270^\circ$ до $360^\circ$): точка находится в области, где $x > 0$ и $y < 0$. Таким образом, косинус имеет знак «плюс», а синус — знак «минус»: $\cos\alpha > 0$, $\sin\alpha < 0$.

Ответ:
в I четверти: $\sin\alpha > 0$ (плюс), $\cos\alpha > 0$ (плюс).
во II четверти: $\sin\alpha > 0$ (плюс), $\cos\alpha < 0$ (минус).
в III четверти: $\sin\alpha < 0$ (минус), $\cos\alpha < 0$ (минус).
в IV четверти: $\sin\alpha < 0$ (минус), $\cos\alpha > 0$ (плюс).