Номер 574, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

574¹.

a) $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$;

б) $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha - 1}$;

в) $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$;

г) $\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}$, где угол $\alpha$ такой, что знаменатель дроби не обращается в нуль.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Из него мы можем выразить $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$
Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:
$1 - \cos^2 \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$
Дробь примет вид:
$\frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha}$
Поскольку по условию задачи знаменатель не обращается в нуль ($1 + \cos \alpha \neq 0$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(1 + \cos \alpha)$.
В результате получаем: $1 - \cos \alpha$.
Ответ: $1 - \cos \alpha$

б) Упростим выражение $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha - 1}$.
Снова используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого выразим $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.
Подставим это в исходную дробь:
$\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha - 1}$
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
$1 - \sin^2 \alpha = (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)$
Теперь наша дробь выглядит так:
$\frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{\sin \alpha - 1}$
Заметим, что множитель в числителе $(1 - \sin \alpha)$ и знаменатель $(\sin \alpha - 1)$ отличаются только знаком: $1 - \sin \alpha = -(\sin \alpha - 1)$.
Перепишем дробь:
$\frac{-(\sin \alpha - 1)(1 + \sin \alpha)}{\sin \alpha - 1}$
Так как знаменатель не равен нулю ($\sin \alpha - 1 \neq 0$), сокращаем дробь на $(\sin \alpha - 1)$.
Получаем: $-(1 + \sin \alpha)$ или $-1 - \sin \alpha$.
Ответ: $-1 - \sin \alpha$

в) Упростим выражение $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Заменим числитель дроби этим выражением:
$\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
По условию, знаменатель $\cos^2 \alpha \neq 0$. Любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно 1.
Следовательно, выражение равно 1.
Ответ: $1$

г) Упростим выражение $\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}$.
Обратимся к основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Преобразуем его, чтобы выразить числитель дроби: $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
Подставим это выражение в числитель:
$\frac{-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
Так как по условию знаменатель $\sin^2 \alpha \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\sin^2 \alpha$.
В результате получаем -1.
Ответ: $-1$