Страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

569. Возможно ли равенство:

а) $\sin \alpha = -\sqrt{3}$;

б) $\cos \alpha = \sqrt{3}-1$;

в) $\sin \alpha = \frac{\pi}{2}$;

г) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{11}}{3}$;

д) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$;

е) $\cos \alpha = -\frac{\pi}{3}$?

Основное свойство функций синуса и косинуса заключается в том, что их область значений — это отрезок $[-1; 1]$. То есть, для любого угла $\alpha$ должны выполняться неравенства:

$-1 \le \sin \alpha \le 1$

$-1 \le \cos \alpha \le 1$

Чтобы определить, возможно ли каждое из предложенных равенств, нужно проверить, принадлежит ли значение в правой части отрезку $[-1; 1]$.

а) $\sin \alpha = -\sqrt{3}$

Проверим значение $-\sqrt{3}$. Мы знаем, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, значит $\sqrt{3}$ находится между 1 и 2. Точное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Следовательно, $-\sqrt{3} \approx -1.732$.
Так как $-1.732 < -1$, это значение не входит в область значений функции синус.
Ответ: невозможно.

б) $\cos \alpha = \sqrt{3} - 1$

Проверим значение $\sqrt{3} - 1$. Используя приближение $\sqrt{3} \approx 1.732$, получаем:
$\sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$.
Значение $0.732$ находится в интервале $[-1; 1]$, так как $-1 \le 0.732 \le 1$.
Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: возможно.

в) $\sin \alpha = \frac{\pi}{2}$

Проверим значение $\frac{\pi}{2}$. Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14159}{2} \approx 1.57$.
Так как $1.57 > 1$, это значение не входит в область значений функции синус.
Ответ: невозможно.

г) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{11}}{3}$

Проверим, входит ли значение $-\frac{\sqrt{11}}{3}$ в отрезок $[-1; 1]$. Для этого сравним модуль этого числа, $|\mo-\frac{\sqrt{11}}{3}| = \frac{\sqrt{11}}{3}$, с единицей.
Чтобы сравнить $\frac{\sqrt{11}}{3}$ и $1$, возведем оба положительных числа в квадрат:
$(\frac{\sqrt{11}}{3})^2 = \frac{11}{9}$.
Так как $\frac{11}{9} > 1$, то и $\frac{\sqrt{11}}{3} > 1$.
Это означает, что $-\frac{\sqrt{11}}{3} < -1$, и значение не входит в область значений синуса.
Ответ: невозможно.

д) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Проверим, входит ли значение $\frac{\sqrt{7}}{3}$ в отрезок $[-1; 1]$. Сравним его с единицей.
Возведем в квадрат оба положительных числа $\frac{\sqrt{7}}{3}$ и $1$:
$(\frac{\sqrt{7}}{3})^2 = \frac{7}{9}$.
Так как $\frac{7}{9} < 1$, то и $\frac{\sqrt{7}}{3} < 1$.
Поскольку $0 < \frac{\sqrt{7}}{3} < 1$, это значение принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
Следовательно, такое равенство возможно.
Ответ: возможно.

е) $\cos \alpha = -\frac{\pi}{3}$

Проверим значение $-\frac{\pi}{3}$. Используя приближение $\pi \approx 3.14159$, получаем:
$-\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3.14159}{3} \approx -1.047$.
Так как $-1.047 < -1$, это значение не входит в область значений функции косинус.
Ответ: невозможно.

570. Вычислите sin α, если:

a) $ \cos \alpha = \frac{1}{4} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

б) $ \cos \alpha = -\frac{1}{3} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

а)

Для вычисления $ \sin\alpha $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Из этого тождества выразим $ \sin\alpha $: $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $, следовательно, $ \sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha} $.

Подставим известное значение $ \cos\alpha = \frac{1}{4} $ в формулу:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} $.

Тогда $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4} $.

Согласно условию, угол $ \alpha $ находится в промежутке $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти значения синуса положительны. Поэтому мы выбираем знак «+».

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} $.

б)

Аналогично пункту а), используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выражаем $ \sin\alpha $: $ \sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha} $.

Подставим известное значение $ \cos\alpha = -\frac{1}{3} $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.

Следовательно, $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

По условию, угол $ \alpha $ находится в промежутке $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, что соответствует III координатной четверти. В этой четверти значения синуса отрицательны. Поэтому мы выбираем знак «–».

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

571. Вычислите $ \cos \alpha $, если:

a) $ \sin \alpha = 0,8 $, $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $;

б) $ \sin \alpha = -0,6 $, $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

а)

Для нахождения $\cos\alpha$, зная $\sin\alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Из этого тождества выразим $\cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

Подставим известное значение $\sin\alpha = 0,8$:

$\cos^2\alpha = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

Отсюда находим два возможных значения для $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \sqrt{0,36} = 0,6$ или $\cos\alpha = -\sqrt{0,36} = -0,6$.

Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к условию, что угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Этот интервал соответствует второй четверти тригонометрической окружности. Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения.

Следовательно, мы выбираем значение со знаком минус.

Ответ: -0,6

б)

Аналогично пункту а), используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Выражаем и вычисляем $\cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

Подставляем известное значение $\sin\alpha = -0,6$:

$\cos^2\alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

Находим возможные значения для $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \sqrt{0,64} = 0,8$ или $\cos\alpha = -\sqrt{0,64} = -0,8$.

Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот интервал соответствует четвертой четверти тригонометрической окружности. В четвертой четверти косинус принимает положительные значения.

Таким образом, мы выбираем значение со знаком плюс.

Ответ: 0,8

Упростите выражение (572–575):

572. а) $1 - \sin^2 \alpha$;

б) $1 - \cos^2 \alpha$;

в) $\sin^2 \alpha - 1$;

г) $\cos^2 \alpha - 1$.

а) Для упрощения этого выражения используется основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Из этого тождества можно выразить $ \cos^2 \alpha $. Для этого перенесем $ \sin^2 \alpha $ в правую часть уравнения:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.

Таким образом, исходное выражение $ 1 - \sin^2 \alpha $ можно заменить на $ \cos^2 \alpha $.

Ответ: $ \cos^2 \alpha $

б) Аналогично предыдущему пункту, используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Теперь выразим $ \sin^2 \alpha $, перенеся $ \cos^2 \alpha $ в правую часть уравнения:

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $.

Следовательно, выражение $ 1 - \cos^2 \alpha $ равно $ \sin^2 \alpha $.

Ответ: $ \sin^2 \alpha $

в) И снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Рассмотрим выражение $ \sin^2 \alpha - 1 $. Можно вынести знак минус за скобки, чтобы получить выражение, похожее на тождество:

$ \sin^2 \alpha - 1 = -(1 - \sin^2 \alpha) $.

Как мы установили в пункте а), выражение в скобках $ 1 - \sin^2 \alpha $ равно $ \cos^2 \alpha $.

Подставим это значение:

$ -(1 - \sin^2 \alpha) = -\cos^2 \alpha $.

Ответ: $ -\cos^2 \alpha $

г) Для упрощения выражения $ \cos^2 \alpha - 1 $ также применим основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Вынесем минус за скобки в исходном выражении:

$ \cos^2 \alpha - 1 = -(1 - \cos^2 \alpha) $.

Из пункта б) мы знаем, что $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $.

Заменим выражение в скобках на $ \sin^2 \alpha $:

$ -(1 - \cos^2 \alpha) = -\sin^2 \alpha $.

Ответ: $ -\sin^2 \alpha $

573. а) $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha);$

б) $(\cos \alpha - 1)(1 + \cos \alpha);$

в) $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1;$

г) $1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha.$

а) Чтобы упростить выражение $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)$, воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=1$ и $b=\sin \alpha$.

$(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Далее, применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Таким образом, выражение равно $\cos^2 \alpha$.

Ответ: $\cos^2 \alpha$

б) Чтобы упростить выражение $(\cos \alpha - 1)(1 + \cos \alpha)$, переставим слагаемые во второй скобке и снова применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=\cos \alpha$ и $b=1$.

$(\cos \alpha - 1)(\cos \alpha + 1) = \cos^2 \alpha - 1^2 = \cos^2 \alpha - 1$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ выразим $\cos^2 \alpha - 1$. Получим $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.

Таким образом, выражение равно $-\sin^2 \alpha$.

Ответ: $-\sin^2 \alpha$

в) Рассмотрим выражение $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1$. Заменим $1$ на сумму $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ согласно основному тригонометрическому тождеству.

$\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1 = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.

Теперь сократим подобные слагаемые: $-\sin^2 \alpha$ и $\sin^2 \alpha$ взаимно уничтожаются.

$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha$.

Ответ: $2\cos^2 \alpha$

г) Рассмотрим выражение $1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(1 - \cos^2 \alpha) + \sin^2 \alpha$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

Подставим это в наше выражение:

$\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha$.

Ответ: $2\sin^2 \alpha$

574¹.

a) $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$;

б) $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha - 1}$;

в) $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$;

г) $\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}$, где угол $\alpha$ такой, что знаменатель дроби не обращается в нуль.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{\sin^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Из него мы можем выразить $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{1 - \cos^2 \alpha}{1 + \cos \alpha}$
Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю:
$1 - \cos^2 \alpha = (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)$
Дробь примет вид:
$\frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{1 + \cos \alpha}$
Поскольку по условию задачи знаменатель не обращается в нуль ($1 + \cos \alpha \neq 0$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(1 + \cos \alpha)$.
В результате получаем: $1 - \cos \alpha$.
Ответ: $1 - \cos \alpha$

б) Упростим выражение $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha - 1}$.
Снова используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого выразим $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.
Подставим это в исходную дробь:
$\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha - 1}$
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:
$1 - \sin^2 \alpha = (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)$
Теперь наша дробь выглядит так:
$\frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{\sin \alpha - 1}$
Заметим, что множитель в числителе $(1 - \sin \alpha)$ и знаменатель $(\sin \alpha - 1)$ отличаются только знаком: $1 - \sin \alpha = -(\sin \alpha - 1)$.
Перепишем дробь:
$\frac{-(\sin \alpha - 1)(1 + \sin \alpha)}{\sin \alpha - 1}$
Так как знаменатель не равен нулю ($\sin \alpha - 1 \neq 0$), сокращаем дробь на $(\sin \alpha - 1)$.
Получаем: $-(1 + \sin \alpha)$ или $-1 - \sin \alpha$.
Ответ: $-1 - \sin \alpha$

в) Упростим выражение $\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.
Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.
Заменим числитель дроби этим выражением:
$\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
По условию, знаменатель $\cos^2 \alpha \neq 0$. Любое число (кроме нуля), деленное на само себя, равно 1.
Следовательно, выражение равно 1.
Ответ: $1$

г) Упростим выражение $\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}$.
Обратимся к основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Преобразуем его, чтобы выразить числитель дроби: $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
Подставим это выражение в числитель:
$\frac{-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
Так как по условию знаменатель $\sin^2 \alpha \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\sin^2 \alpha$.
В результате получаем -1.
Ответ: $-1$

575. a) $1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha;$

б) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha;$

в) $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha;$

г) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2.$

а) Для упрощения выражения $1 - \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$ вынесем $-1$ за скобки в последних двух слагаемых.
$1 - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Подставив это значение в выражение, получим:
$1 - 1 = 0$.

Ответ: $0$.

б) Выражение $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha$ можно представить как разность квадратов $(\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, выражение упрощается до:
$(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.
Данное выражение также можно записать через формулу косинуса двойного угла: $-(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos(2\alpha)$.

Ответ: $-\cos(2\alpha)$ (или $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$).

в) Рассмотрим выражение $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.
Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha) + (-\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = (\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha) - (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)$.
Как мы выяснили в пункте б), $\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$.
Подставим это в наше выражение:
$(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) - (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 0$.

Ответ: $0$.

г) Для упрощения выражения $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$ раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$(\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Сгруппируем члены выражения:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2\sin \alpha \cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, а также заметив, что $2\sin \alpha \cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 0$, получаем:
$1 + 1 + 0 = 2$.

Ответ: $2$.

576. Может ли синус или косинус угла принимать значения, по абсолютной величине большие единицы?

Нет, ни синус, ни косинус угла не могут принимать значения, по абсолютной величине большие единицы. Это следует из их определения.

Рассмотрим два основных подхода к определению синуса и косинуса.

1. Через прямоугольный треугольник (для острых углов)

В прямоугольном треугольнике синус острого угла $\alpha$ определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус — как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Поскольку катет в прямоугольном треугольнике всегда короче гипотенузы, то результат деления длины катета на длину гипотенузы всегда будет числом, не превышающим 1. В предельном случае, когда угол стремится к 90° или 0°, один из катетов может стремиться по длине к гипотенузе, и тогда значение синуса или косинуса будет равно 1.

2. Через единичную окружность (для любого угла)

Это более общее определение. Рассмотрим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (единичная окружность). Для любого угла $\alpha$, отложенного от положительного направления оси Ox, косинус и синус определяются как координаты $x$ и $y$ точки пересечения стороны угла с единичной окружностью.

$\cos(\alpha) = x$

$\sin(\alpha) = y$

Уравнение единичной окружности: $x^2 + y^2 = 1$. Подставив в него значения $x$ и $y$, получаем основное тригонометрическое тождество:

$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$

Из этого тождества видно, что и $\sin^2(\alpha)$, и $\cos^2(\alpha)$ не могут быть больше 1, поскольку они являются квадратами действительных чисел и их сумма равна 1.

Если $\cos^2(\alpha) \le 1$, то $|\cos(\alpha)| \le 1$, что эквивалентно $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$.

Аналогично, если $\sin^2(\alpha) \le 1$, то $|\sin(\alpha)| \le 1$, что эквивалентно $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$.

Таким образом, значения синуса и косинуса всегда находятся в диапазоне от -1 до 1 включительно, и их абсолютная величина (модуль) никогда не может быть больше единицы.

Ответ: Нет, не может. Абсолютная величина синуса и косинуса любого вещественного угла не может быть больше единицы. Это математически выражается неравенствами: $|\sin(\alpha)| \le 1$ и $|\cos(\alpha)| \le 1$.

577. Если $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ и $\sin \alpha = 1 + b$, то какие значения может принимать $b$? Определите $\cos \alpha$.

Какие значения может принимать b?

Из условия задачи известно, что угол $ \alpha $ находится в диапазоне $ 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} $. Это соответствует первой четверти единичной окружности. Для углов в этом диапазоне значения синуса находятся в пределах от $ \sin(0) $ до $ \sin(\frac{\pi}{2}) $.

Поскольку $ \sin(0) = 0 $ и $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $, то для данного $ \alpha $ справедливо неравенство: $ 0 \leq \sin \alpha \leq 1 $.

Также по условию дано, что $ \sin \alpha = 1 + b $. Подставим это выражение в полученное неравенство: $ 0 \leq 1 + b \leq 1 $.

Это двойное неравенство можно решить, вычитая 1 из всех его частей: $ 0 - 1 \leq (1 + b) - 1 \leq 1 - 1 $
$ -1 \leq b \leq 0 $.

Таким образом, параметр $ b $ может принимать любые значения в промежутке от -1 до 0, включая концы.

Ответ: $ b \in [-1, 0] $.

Определите cos α.

Для нахождения $ \cos \alpha $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Отсюда выразим $ \cos^2 \alpha $: $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.

Поскольку по условию $ 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} $, косинус в этом диапазоне неотрицателен, то есть $ \cos \alpha \geq 0 $. Следовательно, мы берем арифметический (неотрицательный) квадратный корень: $ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $.

Теперь подставим известное выражение $ \sin \alpha = 1 + b $ в эту формулу: $ \cos \alpha = \sqrt{1 - (1 + b)^2} $.

Упростим подкоренное выражение: $ 1 - (1 + b)^2 = 1 - (1 + 2b + b^2) = 1 - 1 - 2b - b^2 = -2b - b^2 $.
Вынесем $-b$ за скобки: $ -b(2+b) $.

Таким образом, получаем выражение для $ \cos \alpha $ через $ b $: $ \cos \alpha = \sqrt{-b(2 + b)} $.
Это выражение определено, так как мы ранее установили, что $ -1 \leq b \leq 0 $, и при этих значениях подкоренное выражение $ -b(2+b) $ неотрицательно.

Ответ: $ \cos \alpha = \sqrt{-b(2 + b)} $.

578. Может ли косинус угла быть равным:

а) $ -\frac{21}{37}$;

б) $ \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$;

в) $ \frac{1}{\sin \frac{\pi}{6}}$;

г) $ \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{6}}$?

1Здесь и далее рассматриваются выражения, имеющие смысл.

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $-1 \le \cos \alpha \le 1$. Проверим, удовлетворяют ли предложенные значения этому условию.

а) $-\frac{21}{37}$
Нам нужно проверить, находится ли значение $-\frac{21}{37}$ в пределах от $-1$ до $1$. Для этого достаточно проверить, что модуль этого числа не превышает $1$: $|-\frac{21}{37}| \le 1$. $|-\frac{21}{37}| = \frac{21}{37}$. Так как числитель дроби ($21$) меньше знаменателя ($37$), то дробь меньше $1$. Следовательно, неравенство $-1 \le -\frac{21}{37} \le 1$ выполняется.
Ответ: Да, может.

б) $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$
Проверим, принадлежит ли это значение отрезку $[-1, 1]$. Оценим числитель и знаменатель. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$, то числитель $\sqrt{3} - \sqrt{2} > 0$ и знаменатель $\sqrt{2} - 1 > 0$. Значит, вся дробь положительна. Осталось проверить, не больше ли она $1$. Сравним значение с $1$: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \le 1$. Умножим обе части на положительный знаменатель $\sqrt{2} - 1$: $\sqrt{3} - \sqrt{2} \le \sqrt{2} - 1$. Перегруппируем члены неравенства: $\sqrt{3} + 1 \le 2\sqrt{2}$. Обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $(\sqrt{3} + 1)^2 \le (2\sqrt{2})^2$ $3 + 2\sqrt{3} + 1 \le 8$ $4 + 2\sqrt{3} \le 8$ $2\sqrt{3} \le 4$ $\sqrt{3} \le 2$. Так как $3 \le 4$, последнее неравенство верно. Следовательно, и исходное значение находится в пределах от $0$ до $1$.
Ответ: Да, может.

в) $\frac{1}{\sin\frac{\pi}{6}}$
Сначала вычислим значение знаменателя. $\sin\frac{\pi}{6}$ — это табличное значение. $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Теперь вычислим значение всего выражения: $\frac{1}{\sin\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{1/2} = 2$. Значение $2$ больше $1$, поэтому оно не входит в область значений функции косинус.
Ответ: Нет, не может.

г) $\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{6}}$
Вычислим значения тригонометрических функций в числителе и знаменателе. Это табличные значения. $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь вычислим значение дроби: $\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$. Значение $1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Это максимальное возможное значение для косинуса (например, $\cos 0 = 1$).
Ответ: Да, может.