Страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

591. a) Что называют тангенсом угла $\alpha$? котангенсом угла $\alpha$?

б) Для какого угла $\alpha$ не существует $tg \alpha$? $ctg \alpha$?

в) Для каких углов $\alpha$ справедливо равенство $tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$?

а) Тангенсом угла $ \alpha $ называют отношение синуса этого угла к его косинусу. Это можно записать в виде формулы: $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $. В контексте прямоугольного треугольника тангенс острого угла — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Котангенсом угла $ \alpha $ называют отношение косинуса этого угла к его синусу. Формула для котангенса: $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $. В контексте прямоугольного треугольника котангенс острого угла — это отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета.

Ответ: Тангенс угла $ \alpha $ — это отношение $ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $. Котангенс угла $ \alpha $ — это отношение $ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.

б) Тангенс угла $ \alpha $ ($ \operatorname{tg} \alpha $) определяется по формуле $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $. Данная функция не определена (не существует), когда знаменатель дроби равен нулю, то есть когда $ \cos \alpha = 0 $. Это условие выполняется для углов $ \alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k $ (в радианах $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k $), где $k$ — любое целое число.

Котангенс угла $ \alpha $ ($ \operatorname{ctg} \alpha $) определяется по формуле $ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $. Данная функция не определена (не существует), когда знаменатель дроби равен нулю, то есть когда $ \sin \alpha = 0 $. Это условие выполняется для углов $ \alpha = 180^\circ \cdot k $ (в радианах $ \alpha = \pi k $), где $k$ — любое целое число.

Ответ: $ \operatorname{tg} \alpha $ не существует для углов $ \alpha = 90^\circ + 180^\circ \cdot k $, где $k \in \mathbb{Z} $. $ \operatorname{ctg} \alpha $ не существует для углов $ \alpha = 180^\circ \cdot k $, где $k \in \mathbb{Z} $.

в) Равенство $ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 $ является основным тригонометрическим тождеством. Для его проверки подставим определения тангенса и котангенса в левую часть: $ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.

При сокращении дробей получается $1$. Однако, это преобразование возможно только при условии, что оба выражения, $ \operatorname{tg} \alpha $ и $ \operatorname{ctg} \alpha $, существуют. Как было установлено в пункте б), $ \operatorname{tg} \alpha $ не определен, когда $ \cos \alpha = 0 $, а $ \operatorname{ctg} \alpha $ не определен, когда $ \sin \alpha = 0 $.

Следовательно, равенство $ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 $ справедливо для всех углов $ \alpha $, для которых одновременно $ \cos \alpha \neq 0 $ и $ \sin \alpha \neq 0 $. Это условие нарушается, когда угол $ \alpha $ является кратным $ 90^\circ $ (или $ \frac{\pi}{2} $ радиан). Таким образом, $ \alpha \neq 90^\circ \cdot n $ (или $ \alpha \neq \frac{\pi n}{2} $), где $n$ — любое целое число.

Ответ: Равенство справедливо для всех углов $ \alpha $, для которых $ \alpha \neq 90^\circ \cdot n $, где $n \in \mathbb{Z} $.

592. а) Если для угла $\alpha$ существует $\text{tg}\alpha$, то единственный ли он?

б) Если для угла $\alpha$ существует $\text{ctg}\alpha$, то единственный ли он?

а)

Да, если для угла $\alpha$ существует тангенс, то его значение единственно. Это следует из определения понятия "функция". Тангенс угла является функцией, которая каждому значению аргумента (углу $\alpha$) из области определения ставит в соответствие единственное значение.

Тангенс угла $\alpha$ определяется по формуле $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Он существует, если знаменатель не равен нулю, то есть $\cos\alpha \neq 0$. Для любого заданного угла $\alpha$ значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ определены однозначно. Следовательно, их отношение, если оно существует, также будет единственным числом.

Например, для угла $\alpha = 45^\circ$ значение $\text{tg}\,45^\circ = 1$ является единственно возможным.

Ответ: да.

б)

Да, если для угла $\alpha$ существует котангенс, то его значение также единственно. Рассуждения аналогичны пункту а). Котангенс угла также является функцией.

Котангенс угла $\alpha$ определяется по формуле $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Он существует, если $\sin\alpha \neq 0$. Поскольку для любого конкретного угла $\alpha$ значения $\cos\alpha$ и $\sin\alpha$ уникальны, их отношение, если оно определено, также будет уникальным.

Например, для угла $\alpha = 30^\circ$ значение $\text{ctg}\,30^\circ = \sqrt{3}$ является единственно возможным.

Ответ: да.

593. Каковы основные формулы для $ \operatorname{tg} \alpha $? для $ \operatorname{ctg} \alpha $? Для каких углов $ \alpha $ они справедливы?

Каковы основные формулы для tg α?

Основными формулами для тангенса угла $ \alpha $ являются:

1. Формула определения тангенса через синус и косинус. Тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу. $$ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$

2. Формула, связывающая тангенс с косинусом, которая является следствием основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. $$ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$

для ctg α?

Основными формулами для котангенса угла $ \alpha $ являются:

1. Формула определения котангенса через косинус и синус. Котангенсом угла называется отношение косинуса этого угла к его синусу. $$ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$

2. Формула, связывающая котангенс с синусом, также следующая из основного тригонометрического тождества. $$ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$

3. Формула, выражающая связь между тангенсом и котангенсом. Эти функции являются взаимно обратными. $$ \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1 $$

Для каких углов α они справедливы?

Область справедливости (или область определения) для каждой формулы зависит от того, какие тригонометрические функции в нее входят.

- Формулы, содержащие $ \text{tg} \alpha $, справедливы для всех углов $ \alpha $, для которых существует тангенс. Тангенс не определен, когда знаменатель в его определении равен нулю, то есть $ \cos \alpha = 0 $. Это происходит при углах $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).
Ответ: Формулы для $ \text{tg} \alpha $ справедливы при $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

- Формулы, содержащие $ \text{ctg} \alpha $, справедливы для всех углов $ \alpha $, для которых существует котангенс. Котангенс не определен, когда знаменатель в его определении равен нулю, то есть $ \sin \alpha = 0 $. Это происходит при углах $ \alpha = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).
Ответ: Формулы для $ \text{ctg} \alpha $ справедливы при $ \alpha \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

- Формула $ \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1 $, которая содержит обе функции, справедлива только тогда, когда и тангенс, и котангенс одновременно определены. Это требует выполнения двух условий: $ \cos \alpha \neq 0 $ и $ \sin \alpha \neq 0 $. Таким образом, формула недействительна для углов, где синус или косинус равен нулю, то есть для углов вида $ \alpha = \frac{\pi m}{2} $, где $ m $ — любое целое число ($ m \in \mathbb{Z} $).
Ответ: Формула $ \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1 $ справедлива при $ \alpha \neq \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $.

Найдите (594–595):

594. а) $tg 0^\circ$;

б) $tg \pi$;

в) $tg 3\pi$;

г) $tg 1440^\circ$;

д) $tg 30^\circ$;

е) $tg \frac{\pi}{4}$;

ж) $tg \frac{\pi}{3}$;

з) $tg 90^\circ$.

а) Значение тангенса угла определяется по формуле $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Для угла $\alpha = 0°$ имеем $\sin 0° = 0$ и $\cos 0° = 1$. Следовательно, $\text{tg } 0° = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: 0

б) Угол $\pi$ радиан равен $180°$. Тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$. Таким образом, $\text{tg } \pi = \text{tg}(0 + \pi) = \text{tg } 0 = 0$. Также можно вычислить через синус и косинус: $\sin \pi = 0$ и $\cos \pi = -1$. Тогда $\text{tg } \pi = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: 0

в) Используя периодичность тангенса (период равен $\pi$), получаем: $\text{tg } 3\pi = \text{tg}(0 + 3\pi) = \text{tg } 0 = 0$.
Ответ: 0

г) Период тангенса в градусах равен $180°$. Чтобы найти значение $\text{tg } 1440°$, мы можем вычесть из угла число, кратное $180°$. Заметим, что $1440 = 8 \cdot 180$. Следовательно, $\text{tg } 1440° = \text{tg}(8 \cdot 180° + 0°) = \text{tg } 0° = 0$.
Ответ: 0

д) $\text{tg } 30°$ является табличным значением. $\text{tg } 30° = \frac{\sin 30°}{\cos 30°} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

е) Угол $\frac{\pi}{4}$ радиан равен $45°$. $\text{tg} \frac{\pi}{4}$ — это табличное значение. $\text{tg} \frac{\pi}{4} = \text{tg } 45° = 1$.
Ответ: 1

ж) Угол $\frac{\pi}{3}$ радиан равен $60°$. $\text{tg} \frac{\pi}{3}$ — это табличное значение. $\text{tg} \frac{\pi}{3} = \text{tg } 60° = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

з) Для нахождения $\text{tg } 90°$ воспользуемся определением: $\text{tg } 90° = \frac{\sin 90°}{\cos 90°}$. Поскольку $\sin 90° = 1$ и $\cos 90° = 0$, мы получаем деление на ноль: $\frac{1}{0}$. Деление на ноль не определено, поэтому тангенс угла $90°$ не существует.
Ответ: не существует (не определен)