Страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

565. Запишите основное тригонометрическое тождество.

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Основное тригонометрическое тождество — это фундаментальное соотношение, которое связывает тригонометрические функции синус и косинус одного и того же угла. Оно утверждает, что для любого угла $\alpha$ сумма квадратов его синуса и косинуса равна единице.

Формула основного тригонометрического тождества выглядит следующим образом: $$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $$

Доказательство и объяснение:

Данное тождество является прямым следствием теоремы Пифагора применительно к единичной окружности.

Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной (декартовой) системе координат. Центр окружности находится в начале координат $O(0, 0)$, а её радиус $R$ равен 1.

Возьмем на окружности произвольную точку $P$ с координатами $(x, y)$. Соединим эту точку с центром окружности, получив радиус $OP$. Угол, который этот радиус образует с положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$), обозначим как $\alpha$.

По определению тригонометрических функций через единичную окружность:
Косинус угла $\alpha$ равен абсциссе (координате $x$) точки $P$: $ \cos\alpha = x $.
Синус угла $\alpha$ равен ординате (координате $y$) точки $P$: $ \sin\alpha = y $.

Если из точки $P$ опустить перпендикуляр на ось $Ox$, мы получим прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут отрезки с длинами, равными абсолютным значениям координат $|x|$ и $|y|$, а гипотенузой будет радиус окружности $OP$, длина которого равна 1.

Применим к этому треугольнику теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $$ x^2 + y^2 = R^2 $$

Теперь подставим в это равенство наши значения: $x = \cos\alpha$, $y = \sin\alpha$ и $R = 1$. $$ (\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha)^2 = 1^2 $$

Используя стандартное сокращенное написание $(\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha$ и $(\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$, и поменяв слагаемые местами для традиционного вида, получаем основное тригонометрическое тождество: $$ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $$ Это равенство выполняется для любого угла $\alpha$, так как точка $P$ была выбрана на окружности произвольно.

Ответ: Основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

566. Укажите наибольшее и наименьшее значения:

a) $|\sin \alpha|$;

б) $|\cos \alpha|$.

а) |sin α|
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $|\sin \alpha|$ сначала определим область значений функции $\sin \alpha$. Известно, что синус любого угла принимает значения в промежутке от -1 до 1 включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \sin \alpha \le 1$.
Функция модуля (абсолютной величины) $|x|$ по определению неотрицательна, то есть $|x| \ge 0$ для любого числа $x$. Когда мы берем модуль от выражения $\sin \alpha$, все его отрицательные значения становятся положительными, а неотрицательные остаются без изменений. Таким образом, значения выражения $|\sin \alpha|$ будут находиться в промежутке от 0 до 1.
Наименьшее значение выражения $|\sin \alpha|$ достигается, когда значение под модулем равно нулю. То есть, когда $\sin \alpha = 0$. В этом случае $|\sin \alpha| = |0| = 0$. Это происходит при углах $\alpha = k\pi$, где $k$ — любое целое число (например, $0, \pi, 2\pi, \ldots$).
Наибольшее значение выражения $|\sin \alpha|$ достигается, когда значение $\sin \alpha$ максимально по модулю, то есть равно 1 или -1.
Если $\sin \alpha = 1$, то $|\sin \alpha| = |1| = 1$.
Если $\sin \alpha = -1$, то $|\sin \alpha| = |-1| = 1$.
В обоих случаях наибольшее значение равно 1. Это происходит при углах $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число (например, $\pi/2, 3\pi/2, \ldots$).
Ответ: Наименьшее значение: 0; наибольшее значение: 1.

б) |cos α|
Рассуждения для выражения $|\cos \alpha|$ полностью аналогичны рассуждениям для $|\sin \alpha|$. Область значений функции косинуса также является отрезком $[-1, 1]$:
$-1 \le \cos \alpha \le 1$.
Применяя операцию взятия модуля, мы получаем, что значения выражения $|\cos \alpha|$ также будут находиться в промежутке от 0 до 1.
Наименьшее значение $|\cos \alpha|$ равно 0. Оно достигается, когда $\cos \alpha = 0$. Это происходит при углах $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число (например, $\pi/2, 3\pi/2, \ldots$).
Наибольшее значение $|\cos \alpha|$ равно 1. Оно достигается, когда $\cos \alpha$ принимает значения, максимальные по модулю, то есть 1 или -1.
Если $\cos \alpha = 1$ или $\cos \alpha = -1$, то $|\cos \alpha| = 1$. Это происходит при углах $\alpha = k\pi$, где $k$ — любое целое число (например, $0, \pi, 2\pi, \ldots$).
Ответ: Наименьшее значение: 0; наибольшее значение: 1.

567. а) Каковы основные формулы для $ \sin \alpha $ и $ \cos \alpha $?

б) Какие знаки имеют синус и косинус угла $ \alpha $, если точка единичной окружности, соответствующая углу $ \alpha $, расположена в I четверти? во II четверти? в III четверти? в IV четверти?

а) Основные формулы для синуса ($\sin\alpha$) и косинуса ($\cos\alpha$) одного и того же угла $\alpha$ устанавливают связь между ними и другими тригонометрическими функциями.

1. Основное тригонометрическое тождество. Это самая важная формула, которая является прямым следствием теоремы Пифагора для точки на единичной окружности с координатами $(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Она гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна единице:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

2. Формулы для выражения одной функции через другую. Из основного тригонометрического тождества можно выразить синус через косинус и наоборот. Знак перед корнем зависит от четверти, в которой расположен угол $\alpha$:
$\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$
$\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$

3. Определения тангенса и котангенса. Эти формулы связывают синус и косинус с тангенсом ($\tan\alpha$) и котангенсом ($\cot\alpha$):
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, где $\cos\alpha \neq 0$
$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, где $\sin\alpha \neq 0$

Ответ: Основными формулами для $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ являются: основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$; формулы, выражающие одну функцию через другую: $\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$ и $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$; а также формулы, связывающие их с тангенсом и котангенсом: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

б) Знаки синуса и косинуса угла $\alpha$ определяются знаками координат точки $P(x, y)$, соответствующей этому углу на единичной окружности. По определению, абсцисса точки $x = \cos\alpha$, а ордината $y = \sin\alpha$. Координатные оси делят плоскость на четыре четверти, в каждой из которых знаки координат, а следовательно и знаки синуса и косинуса, постоянны.

В I четверти (углы от $0^\circ$ до $90^\circ$): точка находится в области, где $x > 0$ и $y > 0$. Таким образом, и косинус, и синус имеют знак «плюс»: $\cos\alpha > 0$, $\sin\alpha > 0$.

Во II четверти (углы от $90^\circ$ до $180^\circ$): точка находится в области, где $x < 0$ и $y > 0$. Таким образом, косинус имеет знак «минус», а синус — знак «плюс»: $\cos\alpha < 0$, $\sin\alpha > 0$.

В III четверти (углы от $180^\circ$ до $270^\circ$): точка находится в области, где $x < 0$ и $y < 0$. Таким образом, и косинус, и синус имеют знак «минус»: $\cos\alpha < 0$, $\sin\alpha < 0$.

В IV четверти (углы от $270^\circ$ до $360^\circ$): точка находится в области, где $x > 0$ и $y < 0$. Таким образом, косинус имеет знак «плюс», а синус — знак «минус»: $\cos\alpha > 0$, $\sin\alpha < 0$.

Ответ:
в I четверти: $\sin\alpha > 0$ (плюс), $\cos\alpha > 0$ (плюс).
во II четверти: $\sin\alpha > 0$ (плюс), $\cos\alpha < 0$ (минус).
в III четверти: $\sin\alpha < 0$ (минус), $\cos\alpha < 0$ (минус).
в IV четверти: $\sin\alpha < 0$ (минус), $\cos\alpha > 0$ (плюс).

568. Существует ли такой угол $\alpha$, для которого:

а) $sin \alpha = -1$, $cos \alpha = \frac{4}{5}$;

б) $sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $sin \alpha = \frac{3}{5}$, $cos \alpha = \frac{4}{5}$;

г) $sin \alpha = -\frac{12}{13}$, $cos \alpha = -\frac{5}{13}$?

Для того чтобы определить, существует ли угол α с заданными значениями синуса и косинуса, необходимо проверить, удовлетворяют ли эти значения основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Если равенство выполняется, то такой угол существует. В противном случае — не существует.

а) Дано: $\sin\alpha = -1$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$.

Проверим тождество, подставив данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (-1)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} + \frac{16}{25} = \frac{41}{25}$.

Поскольку $\frac{41}{25} \neq 1$, основное тригонометрическое тождество не выполняется. Следовательно, угла α с такими значениями синуса и косинуса не существует.

Ответ: не существует.

б) Дано: $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверим тождество, подставив данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Поскольку $1 = 1$, основное тригонометрическое тождество выполняется. Такой угол существует (например, угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, который находится во второй координатной четверти).

Ответ: существует.

в) Дано: $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$.

Проверим тождество, подставив данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.

Поскольку $1 = 1$, основное тригонометрическое тождество выполняется. Такой угол существует (угол находится в первой координатной четверти).

Ответ: существует.

г) Дано: $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$, $\cos\alpha = \frac{5}{13}$.

Проверим тождество, подставив данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{12}{13}\right)^2 + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{169}{169} = 1$.

Поскольку $1 = 1$, основное тригонометрическое тождество выполняется. Такой угол существует (угол находится в четвертой координатной четверти).

Ответ: существует.