Номер 568, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

568. Существует ли такой угол $\alpha$, для которого:

а) $sin \alpha = -1$, $cos \alpha = \frac{4}{5}$;

б) $sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $sin \alpha = \frac{3}{5}$, $cos \alpha = \frac{4}{5}$;

г) $sin \alpha = -\frac{12}{13}$, $cos \alpha = -\frac{5}{13}$?

Для того чтобы определить, существует ли угол α с заданными значениями синуса и косинуса, необходимо проверить, удовлетворяют ли эти значения основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Если равенство выполняется, то такой угол существует. В противном случае — не существует.

а) Дано: $\sin\alpha = -1$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$.

Проверим тождество, подставив данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (-1)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} + \frac{16}{25} = \frac{41}{25}$.

Поскольку $\frac{41}{25} \neq 1$, основное тригонометрическое тождество не выполняется. Следовательно, угла α с такими значениями синуса и косинуса не существует.

Ответ: не существует.

б) Дано: $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверим тождество, подставив данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Поскольку $1 = 1$, основное тригонометрическое тождество выполняется. Такой угол существует (например, угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$, который находится во второй координатной четверти).

Ответ: существует.

в) Дано: $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$.

Проверим тождество, подставив данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.

Поскольку $1 = 1$, основное тригонометрическое тождество выполняется. Такой угол существует (угол находится в первой координатной четверти).

Ответ: существует.

г) Дано: $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$, $\cos\alpha = \frac{5}{13}$.

Проверим тождество, подставив данные значения:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{12}{13}\right)^2 + \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{169}{169} = 1$.

Поскольку $1 = 1$, основное тригонометрическое тождество выполняется. Такой угол существует (угол находится в четвертой координатной четверти).

Ответ: существует.