Номер 573, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

573. а) $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha);$

б) $(\cos \alpha - 1)(1 + \cos \alpha);$

в) $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1;$

г) $1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha.$

а) Чтобы упростить выражение $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)$, воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=1$ и $b=\sin \alpha$.

$(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1^2 - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Далее, применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Таким образом, выражение равно $\cos^2 \alpha$.

Ответ: $\cos^2 \alpha$

б) Чтобы упростить выражение $(\cos \alpha - 1)(1 + \cos \alpha)$, переставим слагаемые во второй скобке и снова применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=\cos \alpha$ и $b=1$.

$(\cos \alpha - 1)(\cos \alpha + 1) = \cos^2 \alpha - 1^2 = \cos^2 \alpha - 1$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ выразим $\cos^2 \alpha - 1$. Получим $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.

Таким образом, выражение равно $-\sin^2 \alpha$.

Ответ: $-\sin^2 \alpha$

в) Рассмотрим выражение $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1$. Заменим $1$ на сумму $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ согласно основному тригонометрическому тождеству.

$\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + 1 = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.

Теперь сократим подобные слагаемые: $-\sin^2 \alpha$ и $\sin^2 \alpha$ взаимно уничтожаются.

$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha$.

Ответ: $2\cos^2 \alpha$

г) Рассмотрим выражение $1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$. Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(1 - \cos^2 \alpha) + \sin^2 \alpha$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

Подставим это в наше выражение:

$\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha$.

Ответ: $2\sin^2 \alpha$