Номер 578, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

578. Может ли косинус угла быть равным:

а) $ -\frac{21}{37}$;

б) $ \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$;

в) $ \frac{1}{\sin \frac{\pi}{6}}$;

г) $ \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{\cos \frac{\pi}{6}}$?

1Здесь и далее рассматриваются выражения, имеющие смысл.

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ должно выполняться неравенство $-1 \le \cos \alpha \le 1$. Проверим, удовлетворяют ли предложенные значения этому условию.

а) $-\frac{21}{37}$
Нам нужно проверить, находится ли значение $-\frac{21}{37}$ в пределах от $-1$ до $1$. Для этого достаточно проверить, что модуль этого числа не превышает $1$: $|-\frac{21}{37}| \le 1$. $|-\frac{21}{37}| = \frac{21}{37}$. Так как числитель дроби ($21$) меньше знаменателя ($37$), то дробь меньше $1$. Следовательно, неравенство $-1 \le -\frac{21}{37} \le 1$ выполняется.
Ответ: Да, может.

б) $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$
Проверим, принадлежит ли это значение отрезку $[-1, 1]$. Оценим числитель и знаменатель. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$, то числитель $\sqrt{3} - \sqrt{2} > 0$ и знаменатель $\sqrt{2} - 1 > 0$. Значит, вся дробь положительна. Осталось проверить, не больше ли она $1$. Сравним значение с $1$: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \le 1$. Умножим обе части на положительный знаменатель $\sqrt{2} - 1$: $\sqrt{3} - \sqrt{2} \le \sqrt{2} - 1$. Перегруппируем члены неравенства: $\sqrt{3} + 1 \le 2\sqrt{2}$. Обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $(\sqrt{3} + 1)^2 \le (2\sqrt{2})^2$ $3 + 2\sqrt{3} + 1 \le 8$ $4 + 2\sqrt{3} \le 8$ $2\sqrt{3} \le 4$ $\sqrt{3} \le 2$. Так как $3 \le 4$, последнее неравенство верно. Следовательно, и исходное значение находится в пределах от $0$ до $1$.
Ответ: Да, может.

в) $\frac{1}{\sin\frac{\pi}{6}}$
Сначала вычислим значение знаменателя. $\sin\frac{\pi}{6}$ — это табличное значение. $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Теперь вычислим значение всего выражения: $\frac{1}{\sin\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{1/2} = 2$. Значение $2$ больше $1$, поэтому оно не входит в область значений функции косинус.
Ответ: Нет, не может.

г) $\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{6}}$
Вычислим значения тригонометрических функций в числителе и знаменателе. Это табличные значения. $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь вычислим значение дроби: $\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$. Значение $1$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Это максимальное возможное значение для косинуса (например, $\cos 0 = 1$).
Ответ: Да, может.