Номер 577, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

577. Если $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ и $\sin \alpha = 1 + b$, то какие значения может принимать $b$? Определите $\cos \alpha$.

Какие значения может принимать b?

Из условия задачи известно, что угол $ \alpha $ находится в диапазоне $ 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} $. Это соответствует первой четверти единичной окружности. Для углов в этом диапазоне значения синуса находятся в пределах от $ \sin(0) $ до $ \sin(\frac{\pi}{2}) $.

Поскольку $ \sin(0) = 0 $ и $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $, то для данного $ \alpha $ справедливо неравенство: $ 0 \leq \sin \alpha \leq 1 $.

Также по условию дано, что $ \sin \alpha = 1 + b $. Подставим это выражение в полученное неравенство: $ 0 \leq 1 + b \leq 1 $.

Это двойное неравенство можно решить, вычитая 1 из всех его частей: $ 0 - 1 \leq (1 + b) - 1 \leq 1 - 1 $
$ -1 \leq b \leq 0 $.

Таким образом, параметр $ b $ может принимать любые значения в промежутке от -1 до 0, включая концы.

Ответ: $ b \in [-1, 0] $.

Определите cos α.

Для нахождения $ \cos \alpha $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. Отсюда выразим $ \cos^2 \alpha $: $ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.

Поскольку по условию $ 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} $, косинус в этом диапазоне неотрицателен, то есть $ \cos \alpha \geq 0 $. Следовательно, мы берем арифметический (неотрицательный) квадратный корень: $ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $.

Теперь подставим известное выражение $ \sin \alpha = 1 + b $ в эту формулу: $ \cos \alpha = \sqrt{1 - (1 + b)^2} $.

Упростим подкоренное выражение: $ 1 - (1 + b)^2 = 1 - (1 + 2b + b^2) = 1 - 1 - 2b - b^2 = -2b - b^2 $.
Вынесем $-b$ за скобки: $ -b(2+b) $.

Таким образом, получаем выражение для $ \cos \alpha $ через $ b $: $ \cos \alpha = \sqrt{-b(2 + b)} $.
Это выражение определено, так как мы ранее установили, что $ -1 \leq b \leq 0 $, и при этих значениях подкоренное выражение $ -b(2+b) $ неотрицательно.

Ответ: $ \cos \alpha = \sqrt{-b(2 + b)} $.