Номер 570, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

570. Вычислите sin α, если:

a) $ \cos \alpha = \frac{1}{4} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $;

б) $ \cos \alpha = -\frac{1}{3} $, $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.

а)

Для вычисления $ \sin\alpha $ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Из этого тождества выразим $ \sin\alpha $: $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $, следовательно, $ \sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha} $.

Подставим известное значение $ \cos\alpha = \frac{1}{4} $ в формулу:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} $.

Тогда $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4} $.

Согласно условию, угол $ \alpha $ находится в промежутке $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти значения синуса положительны. Поэтому мы выбираем знак «+».

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4} $.

б)

Аналогично пункту а), используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выражаем $ \sin\alpha $: $ \sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha} $.

Подставим известное значение $ \cos\alpha = -\frac{1}{3} $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.

Следовательно, $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

По условию, угол $ \alpha $ находится в промежутке $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, что соответствует III координатной четверти. В этой четверти значения синуса отрицательны. Поэтому мы выбираем знак «–».

Ответ: $ \sin\alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3} $.