Номер 572, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (572–575):

572. а) $1 - \sin^2 \alpha$;

б) $1 - \cos^2 \alpha$;

в) $\sin^2 \alpha - 1$;

г) $\cos^2 \alpha - 1$.

а) Для упрощения этого выражения используется основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Из этого тождества можно выразить $ \cos^2 \alpha $. Для этого перенесем $ \sin^2 \alpha $ в правую часть уравнения:

$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $.

Таким образом, исходное выражение $ 1 - \sin^2 \alpha $ можно заменить на $ \cos^2 \alpha $.

Ответ: $ \cos^2 \alpha $

б) Аналогично предыдущему пункту, используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Теперь выразим $ \sin^2 \alpha $, перенеся $ \cos^2 \alpha $ в правую часть уравнения:

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $.

Следовательно, выражение $ 1 - \cos^2 \alpha $ равно $ \sin^2 \alpha $.

Ответ: $ \sin^2 \alpha $

в) И снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Рассмотрим выражение $ \sin^2 \alpha - 1 $. Можно вынести знак минус за скобки, чтобы получить выражение, похожее на тождество:

$ \sin^2 \alpha - 1 = -(1 - \sin^2 \alpha) $.

Как мы установили в пункте а), выражение в скобках $ 1 - \sin^2 \alpha $ равно $ \cos^2 \alpha $.

Подставим это значение:

$ -(1 - \sin^2 \alpha) = -\cos^2 \alpha $.

Ответ: $ -\cos^2 \alpha $

г) Для упрощения выражения $ \cos^2 \alpha - 1 $ также применим основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

Вынесем минус за скобки в исходном выражении:

$ \cos^2 \alpha - 1 = -(1 - \cos^2 \alpha) $.

Из пункта б) мы знаем, что $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $.

Заменим выражение в скобках на $ \sin^2 \alpha $:

$ -(1 - \cos^2 \alpha) = -\sin^2 \alpha $.

Ответ: $ -\sin^2 \alpha $